一、题目
已知 $I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+f(x) \ln (1+x)}-1}{\mathrm{e}^{2 x^{3}}-1}=3$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}= ?$
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继续阅读“你知道这道题为什么不能用洛必达法则吗？”分类： 高等数学
变限积分的极限怎么算？放缩法试一试哦！
一、题目
$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \int_{x_{0}}^{x} \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{t}}\right) \mathrm{d} t = ?
$$
其中 $x_{0}>0$ 且 $x>x_{0}$.
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继续阅读“变限积分的极限怎么算？放缩法试一试哦！”分式中有变限积分？一“洛（洛必达）”解千愁！
一、题目
求解下面的数列极限：
$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \int_{1}^{n} \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right) \mathrm{d} x=?
$$
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继续阅读“分式中有变限积分？一“洛（洛必达）”解千愁！”十次方了不起？洛（必达）他！
一、题目
$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}-\int_{0}^{x^{2}} \cos t^{2} \mathrm{~d} t}{\sin ^{10} x}=
$$
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继续阅读“十次方了不起？洛（必达）他！”注意：判断一点处导数存在时说的“左导等于右导”是不带极限的
一、题目
由 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{+}} f^{\prime}(x)$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{-}} f^{\prime}(x)=a$ 能推导出函数 $f(x)$ 在 $x = x_{0}$ 处可导且连续且 $f^{\prime}(x_{0}) = a$ 的结论吗？
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继续阅读“注意：判断一点处导数存在时说的“左导等于右导”是不带极限的”变限积分求导时被积函数中有两个不同的变量怎么办：做变量代换后就可以拆分开了
一、题目
已知 $f(x)$ 为连续函数，且 $g(x)$ $=$ $\int_{-x}^{0} t f(x+t) \mathrm{d} t$, 则 $g^{\prime}(x) = ?$
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继续阅读“变限积分求导时被积函数中有两个不同的变量怎么办：做变量代换后就可以拆分开了”在学怎么找函数零点的个数？这里刚好有一道典型例题！
题目没给变量的取值范围就一定不能去掉绝对值符号吗？不！
一、题目
已知 $\sin x \ln |x|$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则不定积分 $\int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x = ?$
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继续阅读“题目没给变量的取值范围就一定不能去掉绝对值符号吗？不！”你会解这个“双层”的变限积分求导题吗
一、题目
已知函数 $F(x)$ $=$ $\int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{u^{2}} \ln \left(1+t^{2}\right) \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} u$, 则曲线 $y=F(x)$ 在其定义域上的凹凸性如何？
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继续阅读“你会解这个“双层”的变限积分求导题吗”做对这道题就理解变限积分的计算方式了
一、题目
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{2 x}^{\ln x} \ln (1+t) \mathrm{d} t=
$$
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继续阅读“做对这道题就理解变限积分的计算方式了”求解三角函数积分：能合并的先合并
一、题目
$$
I=\int_{0}^{\pi} x \sqrt{\cos ^{2} x-\cos ^{4} x} \mathrm{~d} x = ?
$$
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继续阅读“求解三角函数积分：能合并的先合并”极坐标方程转直角坐标方程的核心：构造平方
一、题目
将累次积分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 \sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ 写成直角坐标系下的形式。
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继续阅读“极坐标方程转直角坐标方程的核心：构造平方”极坐标系和直角坐标系累次积分互相转换：别忘了那个特别的 $r$
一、题目
将极坐标系 $(r, \theta)$ 中的累次积分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}}^{1} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r$ 转化为直角坐标系 $(x, y)$ 中的累次积分。
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继续阅读“极坐标系和直角坐标系累次积分互相转换：别忘了那个特别的 $r$”使用二重积分的积分区域对称性和被积函数奇偶性快速解题
一、题目
已知 $D$ 是 $x O y$ 平面上以 $(1,1)(-1,1)$ 和 $(-1,-1)$ 为顶点的三角形区域，$D_{1}$ 是 $D$ 在第一象限的部分，则 $\iint_{D}(x y+\cos x \sin y) \mathrm{d} \sigma$ 等于多少？
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继续阅读“使用二重积分的积分区域对称性和被积函数奇偶性快速解题”一道很基础的累次积分“变形”题
一、题目
累次积分 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{1}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ 还可写成什么形式？
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继续阅读“一道很基础的累次积分“变形”题”