分类: 高等数学
$(1+x)^{a}$ 的麦克劳林公式(B004)
问题
$(1+x)^{a}$ 在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的【麦克劳林公式】是什么?说明:下面所有选项中 $x$ 的取值范围都是:$(-\infty, +\infty)$
选项
[A]. $1$ $+$ $ax$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2!}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n!}$ $\cdot$ $x^{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$[B]. $1$ $-$ $ax$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2!}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n!}$ $\cdot$ $x^{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$
[C]. $1$ $+$ $ax$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2!}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{(n+1)!}$ $\cdot$ $x^{n+1}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$
[D]. $x$ $+$ $ax$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2!}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n!}$ $\cdot$ $x^{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$
$(1+x)^{a}$ 的麦克劳林公式
完整版:
$(1+x)^{a}$ $=$ $1$ $+$ $ax$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2!}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n!}$ $\cdot$ $x^{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$
求和版:
$(1+x)^{a}$ $=$ $1$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n!}$ $\cdot$ $x^{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$
简略版:
$(1+x)^{a}$ $=$ $1$ $+$ $ax$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2!}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$
与等价无穷小的关系:当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时,$(1+x)^{a}$ $\sim$ $1$ $+$ $ax$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $(1+x)^{a}$ $-$ $1$ $\sim$ $ax$$.$
辅助图像:
常用的麦克劳林公式:
$\ln(1+x)$ 的麦克劳林公式(B004)
问题
$\ln(1+x)$ 在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的【麦克劳林公式】是什么?说明:下面所有选项中 $x$ 的取值范围都是:$(-1, 1]$ $.$
选项
[A]. $x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n-1}$ $\cdot$ $\frac{x^{n}}{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$[B]. $x$ $+$ $\frac{x^{2}}{2}$ $-$ $\frac{x^{3}}{3}$ $+$ $\cdots$ $-$ $(-1)^{n-1}$ $\cdot$ $\frac{x^{n}}{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$
[C]. $x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n-1}$ $\cdot$ $\frac{x^{n-1}}{n-1}$ $+$ $\omicron (x^{n})$
[D]. $x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $\frac{x^{n}}{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$
$\ln(1+x)$ 的麦克劳林公式
完整版:
$\ln(1+x)$ $=$ $x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n-1}$ $\cdot$ $\frac{x^{n}}{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $,$ 从 $n$ $=$ $1$ 开始 $.$
或者:
$\ln(1+x)$ $=$ $x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $,$ 从 $n$ $=$ $0$ 开始 $.$
求和版:
$\ln(1+x)$ $=$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $(-1)^{n-1}$ $\cdot$ $\frac{x^{n}}{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$
或者:
$\ln(1+x)$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$
简略版:
$\ln(1+x)$ $=$ $x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{3}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$
与等价无穷小的关系:当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时,$\ln(1+x)$ $\sim$ $x$ $.$
辅助图像:
常用的麦克劳林公式:
$\cos x$ 的麦克劳林公式(B004)
问题
$\cos x$ 在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的【麦克劳林公式】是什么?说明:下面所有选项中 $x$ 的取值范围都是:$(-\infty, +\infty)$
选项
[A]. $1$ $+$ $\frac{x^{2}}{2!}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{2n}$ $\cdot$ $\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ $+$ $\omicron (x^{2n+1})$[B]. $1$ $-$ $\frac{x^{2}}{2!}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ $+$ $\omicron (x^{2n+1})$
[C]. $x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2!}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ $+$ $\omicron (x^{2n+1})$
[D]. $1$ $-$ $\frac{x^{2}}{2!}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ $+$ $\omicron (x^{2n+1})$
$\cos x$ 的麦克劳林公式
完整版:
$\cos x$ $=$ $1$ $-$ $\frac{x^{2}}{2!}$ $+$ $\frac{x^{4}}{4!}$ $-$ $\frac{x^{6}}{6!}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ $+$ $\omicron (x^{2n+1})$ $.$
求和版:
$\cos x$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ $+$ $\omicron (x^{2n+1})$ $.$
简略版:
$\cos x$ $=$ $1$ $-$ $\frac{x^{2}}{2!}$ $+$ $\frac{x^{4}}{4!}$ $-$ $\frac{x^{6}}{6!}$ $+$ $\omicron (x^{2n+1})$ $.$
与等价无穷小的关系:当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时,$\cos x$ $\sim$ $1$ $-$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $x^{2}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $1$ $-$ $\cos x$ $\sim$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $x^{2}$ $.$
辅助图像:
常用的麦克劳林公式:
$\sin x$ 的麦克劳林公式(B004)
问题
$\sin x$ 在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的【麦克劳林公式】是什么?说明:下面所有选项中 $x$ 的取值范围都是:$(-\infty, +\infty)$
选项
[A]. $x$ $-$ $\frac{x^{3}}{3!}$ $+$ $\frac{x^{5}}{5!}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ $+$ $\omicron (x^{2n+2})$[B]. $x$ $-$ $\frac{x^{3}}{3!}$ $+$ $\frac{x^{5}}{5!}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ $+$ $\omicron (x^{2n+2})$
[C]. $x$ $-$ $\frac{x^{3}}{3!}$ $+$ $\frac{x^{5}}{5!}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ $+$ $\omicron (x^{2n+2})$
[D]. $x$ $-$ $\frac{x^{3}}{3!}$ $+$ $\frac{x^{5}}{5!}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $\frac{x^{n}}{n!}$ $+$ $\omicron (x^{2n+2})$
$\sin x$ 的麦克劳林公式
完整版:
$\sin x$ $=$ $x$ $-$ $\frac{x^{3}}{3!}$ $+$ $\frac{x^{5}}{5!}$ $-$ $\frac{x^{7}}{7!}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ $+$ $\omicron (x^{2n+2})$ $.$
求和版:
$\sin x$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ $+$ $\omicron (x^{2n+2})$ $.$
简略版:
$\sin x$ $=$ $x$ $-$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{1}{120}$ $\cdot$ $x^{5}$ $.$
与等价无穷小的关系:当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时,$\sin x$ $\sim$ $x$ $-$ $\frac{x^{3}}{6}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $x$ $-$ $\sin x$ $\sim$ $\frac{x^{3}}{6}$ $.$
辅助图像:
常用的麦克劳林公式:
$e^{x}$ 的麦克劳林公式(B004)
问题
$e^{x}$ 在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的【麦克劳林公式】是什么?说明:下面所有选项中 $x$ 的取值范围都是:$(-\infty, +\infty)$
选项
[A]. $1$ $+$ $x$ $+$ $\frac{x^{2}}{2!}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{x^{n}}{n!}$ $+$ $\omicron (x^{n})$[B]. $1$ $+$ $x$ $+$ $\frac{x^{2}}{2!}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$ $+$ $\omicron (x^{n-1})$
[C]. $1$ $+$ $x^{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{2!}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{x^{n}}{n!}$ $+$ $\omicron (x^{n})$
[D]. $x$ $+$ $\frac{x^{2}}{2!}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{x^{n}}{n!}$ $+$ $\omicron (x^{n})$
$e^{x}$ 的麦克劳林公式
完整版:
$e^{x}$ $=$ $1$ $+$ $x$ $+$ $\frac{x^{2}}{2!}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{x^{n}}{n!}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$
求和版:
$e^{x}$ $=$ $\sum_{n = 0}^{\infty}$ $\frac{x^{n}}{n!}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$
简略版:
$e^{x}$ $=$ $1$ $+$ $x$ $+$ $\frac{1}{2}x^{2}$ $+$ $\frac{1}{6}x^{3}$ $+$ $\omicron (x^{3})$ $.$
与等价无穷小的关系:当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时,$e^{x}$ $-$ $1$ $\sim$ $x$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $e^{x}$ $\sim$ $1$ $+$ $x$.
辅助图像:
常用的麦克劳林公式:
泰勒公式的定义(B004)
问题
设函数 $f(x)$ 在包含点 $x_{0}$ 的开区间 $(a, b)$ 内具有直到 $n+1$ 阶的导数,则根据【泰勒公式】,对于任意 $x$ $\in$ $(a, b)$, 有 $f(x)$ $=$ $?$说明:选项中的 $R_{n}(x)$ 为余项,在实际计算中一般可以忽略不计.
选项
[A]. $\frac{f(x_{0})}{1!}$ $\cdot$ $(x – x_{0})$ $+$ $\frac{f'(x_{0})}{2!}$ $\cdot$ $(x – x_{0})^{2}$ $+$ $\frac{f”(x_{0})}{3!}$ $\cdot$ $(x – x_{0})^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{f^{(n)}(x_{0})}{(n+1)!}$ $\cdot$ $(x-x_{0})^{n+1}$ $+$ $R_{n}(x).$[B]. $\frac{f(x_{0})}{0!}$ $+$ $\frac{f'(x_{0})}{1!}$ $\cdot$ $(x – x_{0})$ $+$ $\frac{f”(x_{0})}{2!}$ $\cdot$ $(x – x_{0})^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{f^{(n+1)}(x_{0})}{(n+1)!}$ $\cdot$ $(x-x_{0})^{n+1}$ $+$ $R_{n}(x).$
[C]. $\frac{f'(x_{0})}{1!}$ $\cdot$ $(x – x_{0})$ $+$ $\frac{f”(x_{0})}{2!}$ $\cdot$ $(x – x_{0})^{2}$ $\cdot$ $(x – x_{0})^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}$ $\cdot$ $(x-x_{0})^{n}$ $+$ $R_{n}(x).$
[D]. $\frac{f(x_{0})}{0!}$ $+$ $\frac{f'(x_{0})}{1!}$ $\cdot$ $(x – x_{0})$ $+$ $\frac{f”(x_{0})}{2!}$ $\cdot$ $(x – x_{0})^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}$ $\cdot$ $(x-x_{0})^{n}$ $+$ $R_{n}(x).$
$f(x)$ $=$ $\sum_{k=0}^{n}$ $\frac{f^{(k)} (x_{0})}{k!}$ $\cdot$ $(x – x_{0})^{k}$ $+$ $R_{n}(x)$ $\color{Red}{\Rightarrow}$
$f(x)$ $=$ $\frac{f(x_{0})}{0!}$ $\cdot$ $(x – x_{0})^{0}$ $+$ $\frac{f'(x_{0})}{1!}$ $\cdot$ $(x – x_{0})$ $+$ $\frac{f”(x_{0})}{2!}$ $\cdot$ $(x – x_{0})^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}$ $\cdot$ $(x-x_{0})^{n}$ $+$ $R_{n}(x).$
备注:$0!$ $=$ $1!$ $=$ $x^{0}$ $=$ $1$.
什么是驻点和拐点?
什么是极值点和最值点?
柯西中值定理(B004)
问题
设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均满足在闭区间 $[a, b]$ 上连续,在开区间 $(a, b)$ 内可导,且 $g'(x)$ $\neq$ $0$, 则根据【柯西中值定理】可知,存在 $\xi$ $\in$ $(a,b)$ 使得下列哪个选项是正确的?选项
[A]. $\frac{f(b) + f(a)}{g(b) – g(a)}$ $=$ $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$[B]. $\frac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)}$ $=$ $\frac{f(\xi)}{g(\xi)}$
[C]. $\frac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)}$ $=$ $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$
[D]. $\frac{f(b) + f(a)}{g(b) + g(a)}$ $=$ $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$
拉格朗日中值定理(02-B004)
问题
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续,在开区间 $(a, b)$ 内可导,则根据【拉格朗日中值定理】可知,下列哪个选项是正确的?选项
[A]. $f(x_{0} + \Delta x)$ $+$ $f(x_{0})$ $=$ $f'(x_{0} + \theta \Delta x)$ $\cdot$ $\Delta x$[B]. $f(x_{0} + \Delta x)$ $-$ $f(x_{0})$ $=$ $f'(x_{0} + \theta \Delta x)$ $\div$ $\Delta x$
[C]. $f(x_{0} + \Delta x)$ $-$ $f(x_{0})$ $=$ $f'(x_{0} + \Delta x)$ $\cdot$ $\Delta x$
[D]. $f(x_{0} + \Delta x)$ $-$ $f(x_{0})$ $=$ $f'(x_{0} + \theta \Delta x)$ $\cdot$ $\Delta x$
$f(x_{0} + \Delta x)$ $-$ $f(x_{0})$ $=$ $f'(x_{0} + \theta \Delta x)$ $\cdot$ $\Delta x$ $\color{Red}{\Rightarrow}$
$\frac{f(x_{0} + \Delta x) – f(x_{0})}{\Delta x}$ $=$ $f'(x_{0} + \theta \Delta x)$, 其中 $0$ $<$ $\theta$ $<$ $1$.
说明:$\theta$ 的取值在 $0$ 到 $1$ 之间,可以保证 $x_{0} + \theta \Delta x$ 的取值在 $x_{0}$ 到 $x_{0} + \Delta x$ 之间.
拉格朗日中值定理(01-B004)
问题
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续,在开区间 $(a, b)$ 内可导,则根据【拉格朗日中值定理】可知,存在 $\xi$ $\in$ $(a,b)$ 使得下列哪个选项是正确的?选项
[A]. $\frac{f(b) + f(a)}{b + a}$ $=$ $f'(\xi)$[B]. $\frac{f(b) + f(a)}{b – a}$ $=$ $f'(\xi)$
[C]. $\frac{f(b) – f(a)}{b + a}$ $=$ $f'(\xi)$
[D]. $\frac{f(b) – f(a)}{b – a}$ $=$ $f'(\xi)$
罗尔定理(B004)
问题
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续,在开区间 $(a, b)$ 内可导,且 $f(a)$ $=$ $f(b)$, 则根据【罗尔定理】可知,下列哪个选项是正确的?选项
[A]. 存在 $\xi$ $\in$ $[a,b]$, 使得 $f'(\xi)$ $=$ $1$.[B]. 存在 $\xi$ $\in$ $(a,b)$, 使得 $f'(\xi)$ $=$ $1$.
[C]. 存在 $\xi$ $\in$ $[a,b]$, 使得 $f'(\xi)$ $=$ $0$.
[D]. 存在 $\xi$ $\in$ $(a,b)$, 使得 $f'(\xi)$ $=$ $0$.
费马引理(B004)
问题
设函数 $f(x)$ 在邻域 $U(x_{0})$ 内有定义,并且在点 $x_{0}$ 处可导,如果对于任意 $x_{0}$ $\in$ $U(x_{0})$, 都有 $f(x)$ $\leqslant$ $f(x_{0})$ 或 $f(x)$ $\geqslant$ $f(x_{0})$, 则根据【费马引理】可知,下列哪个选项是正确的?选项
[A]. $f(x_{0})$ $=$ $0$[B]. $f'(x_{0})$ $=$ $0$
[C]. $f(x_{0})$ $=$ $1$
[D]. $f'(x_{0})$ $=$ $1$