问题
若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $(a, b]$ 内的任意有限区间上可积，$f(x)$ 和 $g(x)$ 均非负，且 $\lim_{x \rightarrow a^{+}}$ $\frac{\textcolor{Orange}{f(x)}}{\textcolor{Red}{g(x)}}$ $=$ $\lambda$, 则以下选项中，完全正确的是哪一项？在这里，我们令：
$\textcolor{Orange}{F}$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$, $\textcolor{Red}{G}$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Red}{g(x)}$ $\mathrm{d} x$.
选项
[A].当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时，$F$ 与 $G$ 的敛散性相反
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时， $G$ 收敛则 $F$ 收敛
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时，$F$ 收敛则 $G$ 收敛
[B].
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时，$F$ 与 $G$ 的敛散性相同
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时， $G$ 发散则 $F$ 发散
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时，$F$ 收敛则 $G$ 发散
[C].
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时，$F$ 与 $G$ 的敛散性相同
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时， $G$ 收敛则 $F$ 收敛
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时，$F$ 收敛则 $G$ 发散
[D].
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时，$F$ 与 $G$ 的敛散性相同
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时， $G$ 收敛则 $F$ 收敛
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时，$F$ 收敛则 $G$ 收敛
当 $\textcolor{Yellow}{\lambda}$ $\textcolor{Green}{\neq}$ $\textcolor{Yellow}{0}$ 时，$\textcolor{Orange}{F}$ 与 $\textcolor{Red}{G}$ 的敛散性相同
当 $\textcolor{Yellow}{\lambda}$ $\textcolor{Green}{=}$ $\textcolor{Yellow}{0}$ 时， $\textcolor{Red}{G}$ 收敛则 $\textcolor{Orange}{F}$ 收敛
当 $\textcolor{Yellow}{\lambda}$ $\textcolor{Green}{=}$ $\textcolor{Yellow}{\infty}$ 时，$\textcolor{Orange}{F}$ 收敛则 $\textcolor{Red}{G}$ 收敛