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什么是曲率？什么是曲率圆？
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作者： 荒原之梦
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曲率半径的公式（B005）
问题
设曲线 $y$ 的曲率为 $k$, 则以下哪个选项是其曲率半径 $R$ 的正确计算公式？选项
[A]. $R$ $=$ $\frac{-1}{k}$[B]. $R$ $=$ $\frac{1}{k}$
[C]. $R$ $=$ $-k$
[D]. $R$ $=$ $k$
$R$ $=$ $\frac{1}{k}$ $=$ $\frac{(1 + y’ ^{2})^{\frac{3}{2}}}{|y”|}$, $k$ $\neq$ $0$.
說明
关于曲率的计算方法可以查看荒原之梦网（zhaokaifeng.com）的这篇文章：
輔助圖像
其中，紫色曲率圆的方程式为 $(x + \frac{\pi}{2})^{2}$ $+$ $(y – 0)^{2}$ $=$ $1$, 绿色曲率圆的方程式为 $(x – \frac{\pi}{2})^{2}$ $+$ $(y – 0)^{2}$ $=$ $1$.
曲率的公式（B005）
问题
设曲线 $y$ 的曲率为 $k$, 则以下哪个选项是其【曲率】的正确计算公式？选项
[A]. $k$ $=$ $\frac{|y”|}{(1+y^{2})^{\frac{3}{2}}}$[B]. $k$ $=$ $\frac{|y”|}{(1+y’^{2})^{\frac{2}{3}}}$
[C]. $k$ $=$ $\frac{y”}{(1+y’^{2})^{\frac{3}{2}}}$
[D]. $k$ $=$ $\frac{|y”|}{(1+y’^{2})^{\frac{3}{2}}}$
$k$ $=$ $\frac{|y”|}{(1+y’ ^{2})^{\frac{3}{2}}}$
輔助圖像
函数倾斜渐近线的定义（B005）
问题
根据【函数倾斜渐近线】的定义，以下哪个选项可以说明 $y$ $=$ $kx$ $+$ $b$ 是曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 的倾斜渐近线？选项
[A]. $k$ $=$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $[$ $f(x)$ $-$ $kx$ $]$ 且 $b$ $=$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $\frac{f(x)}{x}$[B]. $k$ $=$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $\frac{f(x)}{x}$ 且 $b$ $=$ $\lim_{x \rightarrow – \infty}$ $[$ $f(x)$ $+$ $kx$ $]$
[C]. $k$ $=$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $\frac{f(x)}{x}$ 且 $b$ $=$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $[$ $f(x)$ $+$ $kx$ $]$
[D]. $k$ $=$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $\frac{f(x)}{x}$ 且 $b$ $=$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $[$ $f(x)$ $-$ $kx$ $]$
如果 $k$ $=$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $\frac{f(x)}{x}$ 且 $b$ $=$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $[$ $f(x)$ $-$ $kx$ $]$, 或者 $k$ $=$ $\lim_{x \rightarrow – \infty}$ $\frac{f(x)}{x}$ 且 $b$ $=$ $\lim_{x \rightarrow – \infty}$ $[$ $f(x)$ $-$ $kx$ $]$，则直线 $y$ $=$ $kx$ $+$ $b$ 就是曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 的倾斜渐近线.
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函数垂直渐近线的定义（B005）
问题
根据【函数垂直渐近线】的定义，以下哪个选项可以说明 $x$ $=$ $x_{0}$ 是函数 $f(x)$ 的垂直渐近线？选项
[A]. $\lim_{x \rightarrow a{-}}$ $f(x)$ $=$ $\infty$ 或 $\lim_{x \rightarrow a^{+}}$ $f(x)$ $=$ $\infty$[B]. $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}$ $f(x)$ $=$ $a$ 或 $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}$ $f(x)$ $=$ $a$
[C]. $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}$ $f(x)$ $=$ $\infty$ 或 $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}$ $f(x)$ $=$ $\infty$
[D]. $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}$ $f(x)$ $=$ $- \infty$ 或 $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}$ $f(x)$ $=$ $+ \infty$
$\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}$ $f(x)$ $=$ $\infty$ 或 $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}$ $f(x)$ $=$ $\infty$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $x$ $=$ $x_{0}$ 是函数 $f(x)$ 的垂直渐近线.
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函数水平渐近线的定义（B005）
问题
根据【函数水平渐近线】的定义，以下哪个选项可以说明 $y$ $=$ $a$ 是函数 $f(x)$ 的水平渐近线？选项
[A]. $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $f(x)$ $\neq$ $a$ 且 $\lim_{x \rightarrow – \infty}$ $f(x)$ $\neq$ $a$[B]. $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $f(x)$ $\leqslant$ $a$ 或 $\lim_{x \rightarrow – \infty}$ $f(x)$ $\geqslant$ $a$
[C]. $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $f(x)$ $<$ $a$ 或 $\lim_{x \rightarrow – \infty}$ $f(x)$ $>$ $a$
[D]. $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $f(x)$ $=$ $a$ 或 $\lim_{x \rightarrow – \infty}$ $f(x)$ $=$ $a$
$\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $f(x)$ $=$ $a$ 或 $\lim_{x \rightarrow – \infty}$ $f(x)$ $=$ $a$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $y$ $=$ $a$ 是函数 $f(x)$ 的水平渐近线
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拐点存在的第二充分条件（B005）
问题
设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某邻域内有三阶导函数，则以下哪个选项是点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 为函数 $f(x)$ 的拐点的一个充分条件？选项
[A]. $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $=$ $0$ 或 $f^{\prime \prime \prime}(x_{0})$ $\neq$ $0$[B]. $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $=$ $0$ 且 $f^{\prime \prime \prime}(x_{0})$ $\neq$ $0$
[C]. $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $\neq$ $0$ 且 $f^{\prime \prime \prime}(x_{0})$ $=$ $0$
[D]. $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $=$ $0$ 且 $f^{\prime \prime \prime}(x_{0})$ $=$ $0$
$f^{\prime \prime}(x_{0})$ $=$ $0$ 且 $f^{\prime \prime \prime}(x_{0})$ $\neq$ $0$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ 点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 为函数 $f(x)$ 的一个拐点.
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拐点存在的第一充分条件（B005）
问题
下面哪个选项是判断函数 $f(x)$ 上的点 $x_{0}$ 为【拐点】的一个【充分条件】？选项
[A]. $f”(x)$ 在点 $x_{0}$ 的左右两侧邻域内同号[B]. $f”(x)$ 在点 $x_{0}$ 的左右两侧邻域内异号
[C]. $f”(x)$ 在点 $x_{0}$ 的左右两侧邻域内都大于零
[D]. $f”(x)$ 在点 $x_{0}$ 的左右两侧邻域内都小于零
如果函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处有 $f”(x_{0})$ $=$ $0$, 或者，虽然 $f”(x_{0})$ 不存在，但函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续，那么，如果再可知，$f”(x)$ 在点 $x_{0}$ 的左右两侧邻域内异号，则可以判断，坐标点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 为函数 $f(x)$ 的一个拐点.
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计算函数最值的方法
曲线拐点的定义（B005）
问题
根据【曲线拐点的定义】，下面哪个选项可以说明函数 $f(x)$ 定义域上的点 $x_{0}$ 对应着该函数的一个拐点？选项
[A]. 函数的正负性在点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 处发生了变化[B]. 函数的增减性在点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 处发生了变化
[C]. 函数的凹凸性在点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 处发生了变化
[D]. 函数的大小性在点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 处发生了变化
如果函数 $f(x)$ 的【凹凸】性在过点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 的时候发生了改变，则称点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 是该函数的一个拐点.
說明
关于什么是拐点，可以参考荒原之梦网的这篇文章：《什么是驻点和拐点？》
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曲线凹凸性的定义（B005）
问题
设函数 $f(x)$ 在区间 $U$ 上连续，$x_{1}$ 和 $x_{2}$ 为区间 $U$ 上的任意两点，则根据【曲线凹凸性的定义】，以下哪些选项是正确的？选项
[A]. $f(\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ $<$ $\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}$ $\color{White}{\Rightarrow}$ $f(x)$ 在区间 $U$ 上是凹的.[B]. $f(\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ $>$ $\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}$ $\color{White}{\Rightarrow}$ $f(x)$ 在区间 $U$ 上是凹的.
[C]. $f(\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ $>$ $\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}$ $\color{White}{\Rightarrow}$ $f(x)$ 在区间 $U$ 上是凸的.
[D]. $f(\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ $<$ $\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}$ $\color{White}{\Rightarrow}$ $f(x)$ 在区间 $U$ 上是凸的.
$f(\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ $<$ $\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x)$ 在区间 $U$ 上是凹的.
$f(\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ $>$ $\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x)$ 在区间 $U$ 上是凸的.
輔助圖像
函数极值不存在的充分条件（B005）
问题
设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某去心邻域 $\mathring{U(x_{0})}$ 内可导，且 $f'(x_{0})$ $=$ $0$, 则以下哪个选项是函数极值【不存在】的一个【充分条件】？选项
[A]. $f'(x)$ 在点 $x_{0}$ 的左右两边不变号[B]. $f'(x_{0})$ $\neq$ $0$
[C]. $f'(x)$ 在点 $x_{0}$ 的左右两边变号
[D]. $f'(x)$ 不存在
若当 $x$ $\in$ $\mathring{U(x_{0})}$ 时，$f'(x)$ 不变号，则表明函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处一定不取得极值.
輔助圖像
函数极值存在的第二充分条件（B005）
问题
设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某去心邻域 $\mathring{U(x_{0})}$ 内可导，$f'(x_{0})$ $=$ $0$, 且 $f^{\prime \prime}(x_{0})$ 存在，则以下哪个选项是函数极值存在的一个【充分条件】？选项
[A]. $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $=$ $0$[B]. $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $=$ $1$
[C]. $f^{\prime \prime}(x_{0})$ 不存在
[D]. $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $>$ $0$ 或 $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $<$ $0$
当 $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $<$ $0$ 的时候，函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极大值.
当 $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $>$ $0$ 的时候，函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极小值.
注意：若 $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $=$ $0$, 则极值不存在，因此，只有当 $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $\neq$ $0$, 极值才【有可能】存在.
函数极值存在的第一充分条件（B005）
问题
设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某去心邻域 $\mathring{U(x_{0})}$ 内可导，且 $f'(x_{0})$ $=$ $0$, 则以下哪个选项是函数极值存在的一个【充分条件】？选项
[A]. $f'(x)$ 的值在点 $x_{0}$ 的左右两侧发生变化[B]. $f'(x)$ 的值在点 $x_{0}$ 的左右两侧都不存在
[C]. $f'(x)$ 的值在点 $x_{0}$ 的左右两侧始终等于零
[D]. $f'(x)$ 的值在点 $x_{0}$ 的左右两侧不发生变化
函数极值存在的第一充分条件
简明版：
当 $f'(x)$ 的值在点 $x_{0}$ 的左右两侧发生变化的时候，就表明函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极值.
标准版：
若 $x$ $\in$ $(x_{0} – \sigma, x_{0})$ 时，$f'(x)$ $>$ $0$ $(<0)$, 且 $x$ $\in$ $(x_{0}, x_{0} + \sigma)$ 时，$f'(x)$ $<$ $0$ $(>0)$, 则函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极大（小）值. 其中，$\sigma$ $>$ $0$.
函数极值存在的必要条件是什么？（B005）
问题
下面哪个选项是函数极值存在的【必要条件】？选项
[A]. $f'(x_{0})$ $\neq$ $0$[B]. $f'(x_{0})$ $=$ $0$
[C]. $f'(x_{0})$ $\leqslant$ $0$
[D]. $f'(x_{0})$ $\geqslant$ $0$
$f'(x_{0})$ $=$ $0$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x_{0})$ 是一个极值.
$f(x_{0})$ 是一个极值 $\color{Green}{\nRightarrow}$ $f'(x_{0})$ $=$ $0$.
说明：由必要条件可以推出结论，但由结论不一定能推出必要条件.
于是可知，$f'(x_{0})$ $=$ $0$ 是函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极值的一个必要条件.
关于必要条件，可以查看荒原之梦网的这篇文章：《什么是必要条件？》