2017年考研数二第18题解析:导数、函数极值、单调性

题目

已知函数 $y(x)$ 由方程 $x^{3} + y^{3} – 3x + 3y – 2 = 0$ 确定,求 $y(x)$ 的极值.

解析

一、计算 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0$.

在式子 $x^{3} + y^{3} – 3x + 3y – 2 = 0$ 中对 $x$ 求偏导,可得:

$$
3x^{2} + 3y^{2} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} – 3 + 3 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0 \Rightarrow
$$

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{3 – 3x^{2}}{3 + 3y^{2}}.
$$

若令 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0$, 则:

$$
3 – 3 x^{2} = 0 \Rightarrow
$$

$$
x = -1 或 x = 1.
$$

由上述分析可知,$x = -1$ 和 $x = 1$ 一定对应着函数 $y(x)$ 的极大值点和极小值点,但是,我们还需要分析出来函数 $y(x)$ 在 $(- \infty, -1)$, $(-1, 1)$ 和 $(1, + \infty)$ 这三段区间上的增减性,才可以最终确定哪个是极大值,哪个是极小值。

由于在 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0$ 的情况下,只求出来两个值,也就是说,函数 $y(x)$ 只在 $x = -1$ 和 $x = 1$ 这两处导数值为零。由此可知,函数 $y(x)$ 在 $(- \infty, -1)$, $(-1, 1)$ 和 $(1, + \infty)$ 这三段区间的每个区间内的单调性都保持不变,我们在判断每个区间内函数 $y(x)$ 的单调性时只需要在该区间内找一个易于判断的值(或极限)代入,求出一个关于 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ 的特解,即可判断出函数 $y(x)$ 在该区间内的单调性。

二、当 $x \in (- \infty, -1)$ 时,$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} < 0$.

当 $x \rightarrow – \infty$ 时,由于 $|x^{3}|$ 和 $|y^{3}|$ 都远大于 $3x$, $3y$ 和 $2$, 因此:

$$
\lim_{x \rightarrow – \infty} (x^{3} + y^{3} – 3x + 3y – 2 = 0) \approx
$$

$$
\lim_{x \rightarrow – \infty} (x^{3} + y^{3} = 0).
$$

同理可知:

$$
\lim_{x \rightarrow – \infty} (3x^{2} + 3y^{2} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} – 3 + 3 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0) \approx
$$

$$
\lim_{x \rightarrow – \infty} (3x^{2} + 3y^{2} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0)
$$

又:

$$
(\lim_{x \rightarrow – \infty} x^{3}) \Rightarrow – \infty \Rightarrow
$$

$$
(\lim_{x \rightarrow – \infty} x) \Rightarrow – \infty.
$$

因此:

$$
(\lim_{x \rightarrow – \infty} y^{3}) \Rightarrow + \infty \Rightarrow
$$

$$
(\lim_{x \rightarrow – \infty} y) \Rightarrow + \infty.
$$

于是,在 $3x^{2} + 3y^{2} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0$ 中,由于:

$$
(\lim_{x \rightarrow – \infty} x^{2}) \Rightarrow + \infty;
$$

$$
(\lim_{x \rightarrow – \infty} y^{2}) \Rightarrow + \infty;
$$

因此:

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} < 0, x \in (- \infty ,-1).
$$

三、当 $x \in (1, – \infty)$ 时,$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} < 0$.

当 $x \rightarrow + \infty$ 时,由于 $x^{3}$ 和 $y^{3}$ 都远大于 $3x$, $3y$ 和 $2$, 因此:

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} (x^{3} + y^{3} – 3x + 3y – 2 = 0) \approx
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} (x^{3} + y^{3} = 0).
$$

同理可知:

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} (3x^{2} + 3y^{2} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} – 3 + 3 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0) \approx
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} (3x^{2} + 3y^{2} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0)
$$

又:

$$
(\lim_{x \rightarrow + \infty} x^{3}) \Rightarrow + \infty \Rightarrow
$$

$$
(\lim_{x \rightarrow + \infty} x) \Rightarrow + \infty.
$$

因此:

$$
(\lim_{x \rightarrow + \infty} y^{3}) \Rightarrow – \infty.
$$

$$
(\lim_{x \rightarrow + \infty} y) \Rightarrow – \infty.
$$

于是,在 $3x^{2} + 3y^{2} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0$ 中,由于:

$$
(\lim_{x \rightarrow + \infty} x^{2}) \Rightarrow + \infty;
$$

$$
(\lim_{x \rightarrow + \infty} y^{2}) \Rightarrow + \infty;
$$

因此:

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} < 0, x \in (1 , + \infty).
$$

三、当 $x \in (- 1, 1)$ 时,$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} > 0$.

若取 $x = 0$, 则由 $x^{3} + y^{3} – 3x + 3y – 2 = 0$ 可知:

$$
0 < y < 1.
$$

当 $x = 0$ 时,又有:

$$
3x^{2} + 3y^{2} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} – 3 + 3 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0 \Rightarrow
$$

$$
3y^{2} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} – 3 + 3 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0 \Rightarrow
$$

$$
(3y^{2} + 3) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 3 \Rightarrow
$$

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{3}{3y^{2} + 3}.
$$

又,当 $x = 0$ 时,$y > 0$, 于是:

$$
\frac{3}{3y^{2} + 3} > 0 \Rightarrow
$$

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} > 0, x \in (-1,1).
$$

四、综上可知

综上,有:

$$
\left\{\begin{matrix}
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} < 0, x \in (- \infty ,-1);\\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} > 0, x \in (-1,1);\\
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} < 0, x \in (1 , + \infty).
\end{matrix}\right.
$$

于是:

  1. 当 $x = -1$ 时,函数 $y(x)$ 取得极小值,且极小值为 $y(-1) = 0$;
  2. 当 $x = 1$ 时,函数 $y(x)$ 取得极大值,且极大值为 $y(1) = 1$.

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