2009 年研究生入学考试数学一选择题第 4 题解析 (两种解法)

一、题目

设有两个数列 ${a_{n}}$, ${b_{n}}$, 若 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $a_{n}$ $=0$, 则()

( A ) 当 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ 收敛时,$\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $b_{n}$ 收敛.

( B ) 当 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ 发散时,$\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $b_{n}$ 发散.

( C ) 当 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $|b_{n}|$ 收敛时,$\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}^{2}$ $b_{n}^{2}$ 收敛.

( D ) 当 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $|b_{n}|$ 发散时,$\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}^{2}$ $b_{n}^{2}$ 发散.

二、解析

由题目信息可知,当 $n$ $\rightarrow$ $\infty$ 时,数列 ${a_{n}}$ 是收敛的。

方法一:反例法

A 项:

令 $a_{n}$ $=$ $b_{n}$ $=$ $(-1)^{n-1}$ $\frac{1}{\sqrt{n}}$.

则此时 ${a_{n}}$ 是一个收敛数列,$\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ 也收敛(根据交错级数的莱布尼茨准则判别法可得此结论),但 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $b_{n}$ $=$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{1}{n}$ 发散(由常见级数的敛散性可得此结论)。

由此构成了对 A 项的反例,A 项错误。

注 1. 交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $(-1)^{n-1}u_{n}$ $(u_{n}>0)$ 的判别法(莱布尼茨准则):

若交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $(-1)^{n-1}u_{n}$ $(u_{n}>0)$ 满足如下条件:

① $u_{n}$ $\geqslant$ $u_{n+1}$, $(n = 1,2,3, \dotsc)$;

② $\lim$ $u_{n}$ $=$ $0$,

则交错级数收敛,其和 $S$ $\leqslant$ $u_{1}$, 余项 $|R_{n}|$ $\leqslant$ $u_{n+1}$.

注 2. 常见级数的敛散性:

$p$ 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{1}{n^{p}}$ $\left\{\begin{matrix} 收敛 & p>1,\\ 发散 & p \leqslant 1. \end{matrix}\right.$

B 项:

令 $a_{n}$ $=$ $b_{n}$ $=$ $\frac{1}{n}$, 则

$\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $b_{n}$ $=$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{1}{n^{2}}$.

此时,数列 ${a_{n}}$ 是一个收敛数列,$\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ 是发散的,但是 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{1}{n^{2}}$ 是收敛的。

由此构成了对 B 项的反例,B 项错误。

D 项:

和 B 项一样,令 $a_{n}$ $=$ $b_{n}$ $=$ $\frac{1}{n}$, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}^{2}$ $b_{n}^{2}$ $=$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{1}{n^{4}}$ 是收敛的。

由此构成了对 D 项的反例,D 项错误。

综上可知,排除了 A, B, D 三个选项后,正确选项一定是 C 项。

方法二:用级数收敛的必要条件推导证明

我们可以使用级数收敛的必要条件直接证明 C 项正确。

级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛的必要条件:$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $u_{n}$ $=$ $0$.

由于 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $u_{n}$ $=$ $0$ 是级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛的必要条件,因此,根据“小充分大必要”的原则,我们知道:

$\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛 $\Rightarrow$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $u_{n}$ $=$ $0$;

$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $u_{n}$ $=$ $0$ $\nRightarrow$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛。

由于 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $a_{n}$ $=$ $0$, 从而存在 $M$ $>$ $0$, 有 $|a_{n}|$ $\leqslant$ $M$, 即:

$a_{n}^{2}$ $b_{n}^{2}$ $\leqslant$ $M^{2}$ $b_{n}^{2}$. 又因为 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $|b_{n}|$ 收敛,故有:

$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $|b_{n}|$ $=0$.

又根据如下定理:

设 $c$ 为非零常数,则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $cu_{n}$ 具有相同的敛散性。

因此,$\sum_{n=1}^{\infty}$ $M^{2}$ $|b_{n}|$ 收敛,即:

$\lim_{n=1}^{\infty}$ $M^{2}$ $|b_{n}|$ $=$ $0$.

于是:

$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{M^{2}|b_{n}||b_{n}|}{|b_{n}|}$ $=$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $M^{2}$ $|b_{n}|$ $=$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{M^{2}b_{n}^{2}}{|b_{n}|}$ $=$ $0$.

接下来,根据“比较判别法的极限形式”:

设 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 均为正项级数,且 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{u_{n}}{v_{n}}$ $=$ $A(v_{n} \neq 0)$.

① 若 $0$ $\leqslant$ $A$ $\leqslant$ $+$ $\infty$, 且 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛,则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛.

② 若 $0$ $\leqslant$ $A$ $\leqslant$ $+$ $\infty$, 且 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散,则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散.

于是我们知道,$\sum_{n=1}^{\infty}$ ${M^{2} b_{n}^{2}}$ 收敛。

又因为 $a^{2}$ $b^{2}$ $\leqslant$ $M^{2}$ $b^{2}$, 所以:

$\sum_{n=1}^{\infty}$ ${a^{2} b_{n}^{2}}$ 收敛.

由此得证 C 项正确。

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