标签： 高等数学基础

导数（导函数）的数学意义是瞬时变化率.

函数可导与连续之间的关系如下：
1. 可导必连续;
2. 不连续一定不可导
3. 连续不一定可导.

$f(x)$ $-$ $f(x_{0})$ $=$ $\frac{-1}{f'(x_{0})}$ $\cdot$ $(x – x_{0})$

$f(x)$ $-$ $f(x_{0})$ $=$ $f'(x_{0})$ $\cdot$ $(x – x_{0})$

$f'(x_{0})$ $=$ $A$ $\color{Red}{\Leftrightarrow}$ $f_{\color{Red}{+}}'(x_{0})$ $=$ $f_{\color{Red}{-}}'(x_{0})$ $=$ $A$
Tips: 左导 $=$ 右导，则可导.

$f_{\color{Red}{-}}^{\prime}(x_{0})$ $=$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{\color{Red}{-}}}$ $\frac{f(x) – f(x_{0})}{x – x_{0}}$

$f_{\color{Red}{+}}^{\prime}(x_{0})$ $=$ $\lim_{\Delta x \rightarrow 0^{\color{Red}{+}}}$ $\frac{f(x_{0} + \Delta x) – f(x_{0})}{\Delta x}$

$f_{\color{Red}{-}}^{‘}(x_{0})$ $=$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{\color{Red}{-}}}$ $\frac{f(x) – f(x_{0})}{x – x_{0}}$

$f_{\color{Red}{-}}^{‘}(x_{0})$ $=$ $\lim_{\Delta x \rightarrow 0^{\color{Red}{-}}}$ $\frac{f(x_{0} + \Delta x) – f(x_{0})}{\Delta x}$

$f^{\prime}(x_{0})$ $=$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $\frac{f(x) – f(x_{0})}{x – x_{0}}$

$f^{‘}(x_{0})$ $=$ $\lim_{\Delta x \rightarrow 0}$ $\frac{f(x_{0} + \Delta x) – f(x_{0})}{\Delta x}$

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，$m$ 和 $M$ 分别是该函数在区间 $[a, b]$ 上的最小值和最大值，$m$ $\leqslant$ $c$ $\leqslant$ $M$, 则必存在 $\xi$ $\in$ $[a, b]$, 使 $f(\xi)$ $=$ $c$

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续且 $f(a)$ $\neq$ $f(b)$, $c$ 是介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的一个常数，则必存在 $\xi$ $\in$ $(a, b)$, 使得 $f(\xi)$ $=$ $c$.

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续且 $f(a)$ $\times$ $f(b)$ $<$ $0$, 则必存在 $\xi$ $\in$ $(a, b)$, 使得 $f(\xi)$ $=$ $0$.
此外，如果 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上为单调函数，则必存在且唯一存在 $\xi$ $\in$ $(a, b)$, 使得 $f(\xi)$ $=$ $0$.

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上必有界