标签： 考研数学公式

一、题目

设 $A$, $B$ 为随机事件，若 $0$ $<$ $P(A)$ $<$ $1$, $0$ $<$ $P(B)$ $<$ $1$, 则 $P(A|B)$ $>$ $P(A|\overline{B})$ 的充分必要条件是 ( )

( A ) $P(B|A)$ $>$ $P(B|\overline{A})$.

( B ) $P(B|A)$ $<$ $P(B|\overline{A})$.

( C ) $P(\overline{B}|A)$ $>$ $P(B|\overline{A})$.

( D ) $P(\overline{B}|A)$ $<$ $p(B|\overline{A})$.

二、解析

本题中要找的是“充分必要条件”。根据充分必要条件的含义我们知道，如果事件 $A$ 和 $B$ 要满足充要条件就要有 $A$ $\to$ $B$ 且 $B$ $\to$ $A$.

但是，如果满足以下情况，也可以确定 $A$ 与 $B$ 是互相的充要条件：

设有事件 $A$, $B$, $C$, 当存在以下情况：

$A$ $\to$ $C$ 且 $C$ $\to$ $A$ 且 $B$ $\to$ $C$ 且 $C$ $\to$ $B$, 则 $A$ 与 $B$ 是互相的充要条件。

对于本题而言，直接把题目中所给的形式 $P(A|B)$ $>$ $P(A|\overline{B})$ 转换成选项中所给的形式，以及把选项中的形式转换成题目中所给的形式，可能难度比较大。这里我们可以考虑化简题目中所给的形式，之后再化简选项中所给的形式，由于化简过程中都是全程使用的等价符号，因此化简前的原式和化简后得到的形式是互为充要条件的，如果选项中的化简结果和题目中的化简结果一样，则可以说明它们之间存在互为充要条件的关系。

首先对题目中的原式进行化简，根据条件概率的公式，我们有：

$P(A|B)$ $>$ $P(A|\overline{B})$ $\Rightarrow$ $\frac{P(AB)}{P(B)}$ $>$ $\frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}$.

又因为：

$P(A\overline{B})$ $=$ $P[A(1-B)]$ $=$ $P(A-AB)$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(AAB)$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(AB)$.

所以有：

原式 $\Rightarrow$ $\frac{P(AB)}{P(B)}$ $>$ $\frac{P(A)–P(AB)}{1-P(B)}$ $\Rightarrow$ $P(AB)[1-P(B)]$ $>$ $P(B)[P(A)-P(AB)]$ $\Rightarrow$ $P(AB)$ $-$ $P(AB)P(B)$ $>$ $P(B)P(A)$ $-$ $P(B)P(AB)$ $\Rightarrow$ $P(AB)$ $>$ $P(A)P(B)$.

接下来，通过观察题目我们知道，$A$ 选项和 $B$ 选项的区别只是大于和小于符号，$C$ 选项和 $D$ 选项的区别也是如此。因此，我们只需要分别对 $A$ 选项和 $C$ 选项进行计算就可以确定哪个是正确选项了。

对 $A$ 选项进行化简：

$P(B|A)$ $>$ $P(B|\overline{A})$ $\Rightarrow$ $\frac{P(AB)}{P(A)}$ $>$ $\frac{P(\overline{A}B)}{P(\overline{A})}$.

又因为：

$P(\overline{A}B)$ $=$ $P[(1-A)B]$ $=$ $P(B-AB)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(ABB)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(AB)$.

所以有：

$\frac{P(AB)}{P(A)}$ $>$ $\frac{P(B)–P(AB)}{1-P(A)}$ $\Rightarrow$ $P(AB)[1-P(A)]$ $>$ $P(A)[P(B)$ $-$ $P(AB)]$ $\Rightarrow$ $P(AB)$ $-$ $P(AB)P(A)$ $>$ $P(A)P(B)$ $-$ $P(A)P(AB)$ $\Rightarrow$ $P(AB)$ $>$ $P(A)P(B)$.

由此，我们知道，$A$ 选项对，$B$ 选项错。

为了保险起见，我们可以在对 $C$ 选项做一个计算：

$P(\overline{B}|A)$ $>$ $P(B|\overline{A})$ $\Rightarrow$ $\frac{P(A\overline{B})}{P(A)}$ $>$ $\frac{P(\overline{A}B)}{P(\overline{A})}$ $\Rightarrow$ $P(A\overline{B})P(\overline{A})$ $>$ $P(\overline{A}B)P(A)$.

又因为：

$P(A\overline{B})$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(AB)$;

$P(\overline{A}B)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(AB)$.

所以有：

$[P(A)$ $-$ $P(AB)][1-P(A)]$ $>$ $[P(B)$ $-$ $P(AB)]P(A)$ $\Rightarrow$ $P(A)$ $-$ $P(A)P(A)$ $-$ $P(AB)$ $+$ $P(AB)P(A)$ $>$ $P(B)P(A)$ $-$ $P(AB)P(A)$ $\nRightarrow$ $P(AB)$ $>$ $P(A)P(B)$.

因此，可以知道，选项 $C$ 和 $D$ 都不正确。

综上可知，正确选项是：$A$.

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