标签： 概率统计练习题

一、题目

设二维随机变量 $(X,Y)$ 服从正态分布 $N(\mu,\mu;\sigma^{2},\sigma^{2};0),$ 则 $E(XY^{2})=$____.

二、解析

由于在正态分布 $X \sim $ $N(\mu, \sigma^{2})$中 $E(X)=\mu$, $D(X)=\sigma^{2}.$ 而且二维正态分布中依然遵循这一定理。

于是，根据题目中的条件我们知道，$E(X)=$ $E(Y)=\mu$, $D(X)=$ $D(Y)=$ $\sigma^{2}.$

又由 $\rho=0$ 我们知道，$X$ 与 $Y$ 相互独立。根据随机变量的独立性中的如下性质：

若 $X_{1},X_{2},$ $\dots ,$ $ X_{n},$ $Y_{1},$ $Y_{2},$ $\dots ,$ $ Y_{m}$ 相互独立，$f(\cdot)$ 为 $n$ 元连续函数且 $g(\cdot)$ 为 $m$ 元连续函数，则 $f(X_{1},X_{2}, \cdots , X_{n})$ 与 $g(X_{1},X_{2}, \cdots , X_{m})$ 也相互独立。

因此，我们知道，$X$ 与 $Y^{2}$ 也相互独立，于是有：
$E(XY^{2})=$ $E(X)E(Y^{2})=$ $E(X) \times [D(Y)+E^{2}(Y)]=$ $\mu(\sigma^{2}+\mu^{2}).$

综上可知，本题的正确答案是：$\mu(\sigma^{2}+\mu^{2})$.

EOF

一、题目

设二维随机变量$(X,Y)$ 服从正态分布 $N(1,0;1,1;0),P\{XY-Y<0\}=$____.

二、解析

解答本题需要掌握正态分布和二维正态分布两部分知识。

1. 正态分布

正态分布通常用下面的公式表示：

$$X \sim N(\mu,\sigma^{2}).$$

其中 $\mu$ 表示数学期望（或称“均数”），$\sigma^{2}$ 表示方差，$\sigma$ 表示标准差。

参数 $\mu$ 决定了正态分布的分布图像在坐标系中的位置，正态分布的图像以 $x$ $=$ $\mu$ 为对称轴，左右完全对称。在正态分布中，数学期望 $=$ 均数 $=$ 中位数 $=$ 众数 $=$ $\mu.$

参数 $\sigma^{2}$ 决定了正态分布中随机变量的离散程度，$\sigma$ 越小，数据就越集中，反之，若 $\sigma$ 越大，数据就越集中。反应在正态分布的图像中就是，当 $\sigma$ 越小的时候，正态分布的图像越窄高，$\sigma$ 越大的时候，正态分布的图像越扁平。

正态分布的图像在 $(\mu – \sigma, \mu + \sigma)$ 区间内存在拐点，拐点附近的形状上表现为中间高两边低的特点。

特别地，$X \sim N(0,1)$ 为标准正态分布，其分布图象关于 $y$ 轴对称。

如图 1 是几种不同的正态分布图像，反映了参数 $\mu$ 和 $\sigma$ 对正态分布图像的影响，其中红色线表示的为标准正态分布：

2. 二维正态分布

二维正态分布可记作如下形式：

$(X,Y)$ $\sim$ $N(\mu_{1},\mu_{2};\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2};\rho).$

在本题中，需要用到关于二维正态分布的如下两个性质：

① $X$ $\sim$ $N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2})$; $Y$ $\sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})$;

② $X$ 与 $Y$ 独立的充要条件是 $\rho=0.$ 我们可以使用如下 MATLAB 代码绘制二维正态分布条件概率密度函数图像：

x=-5:0.01:5;
y=-5:0.01:5;
mu=[-1,2];
sigma=[1 1; 1 3]; %输入均值向量和协方差矩阵,可以根据需要修改
[X,Y]=meshgrid(x,y); %产生网格数据并处理
p=mvnpdf([X(:),Y(:)],mu,sigma);
P=reshape(p,size(X)); %求取联合概率密度
figure(2)
surf(X,Y,P)
shading interp
colorbar
title('二维正态分布条件概率密度函数图像');

我在 MATLAB R2016b 上运行上述代码得到的二维正态分布条件概率密度函数图像如图 2 所示：

关于本题所用到的知识点的介绍就到这里结束，下面是具体的做题过程。

由题可知，$\rho=0,$ 因此，$X$ 与 $Y$ 相互独立，根据“随机变量的独立性”中的定理，我们知道，这也就意味着：

$$P\{X,Y\}=P\{X\}P\{Y\}.$$

于是，我们有：

$P\{XY-Y<0\}$ $=$ $P\{Y(X-1)<0\}$ $=$ $P\{Y>0,X-1<0\}$ $+$ $P\{Y<0,X-1>0\}$ $=$ $P\{Y>0,X<1\}+P\{Y<0,X>1\}$ $=$ $P\{Y>0\}P\{X<1\}$ $+$ $P\{Y<0\}P\{X>1\}$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\times$ $\frac{1}{2}$ $+$ $\frac{1}{2}$ $\times$ $\frac{1}{2}$ $=$ $\frac{1}{2}.$

综上可知，本题的正确答案是：$\frac{1}{2}$

EOF

一、题目

设随机变量 $X$ 的概率分布为 $P{X=k}=\frac{C}{k!},k=0,1,2,\dots.$, 则 $E(X^{2})=$__.

二、解析

根据题目中给出的分布函数（概率分布函数）的形式，我们可以知道，这是一个泊松分布。

泊松分布的公式如下：

$P{X=k}$ $=$ $\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$, $(k=0,1,2,\dots).$

于是我们有：

$C$ $=$ $\lambda^{k}e^{-\lambda}.$

由于在泊松分布中，$D(X)$ $=$ $E(X)$ $=$ $\lambda.$

而且我们知道 $D(X)$ 和 $E(X)$ 有如下关系：

$D(X)$ $=$ $E(X^2)-E^{2}(X)$ $\Rightarrow$ $E(X^{2})$ $=$ $D(X)$ $+$ $E^{2}(X)$ $=$ $\lambda$ $+$ $\lambda^{2}.$

因此，只要我们求出 $\lambda$ 的数值，也就是用 $C$ 表示出 $\lambda$ 就可以解出答案。

但是，这个思路是走不通的，一是因为通过 $C=\lambda^{k}e^{-\lambda}$ 用 $C$ 表示出 $\lambda$ 的计算十分复杂，其二是因为即便能够用 $C$ 表达出 $\lambda$, 那么表达式中也会含有未知变量 $k$.

因此可知，这道题还需要找一些隐含的条件，走另外的解题思路。

既然从源头开始想出来的解题思路有问题，那么我们就倒着想，看看为了计算出最终的结果，我们需要哪些条件。我们可以确定的是，无论采取哪种方法，要想解出 $E(X^{2})$, 就必须知道 $D(X)$ 和 $E^{2}(X)$, 因此（根据泊松分布的特性）我们需要知道 $\lambda$ 的数值，而要知道 $\lambda$ 的数值必然需要通过已知的常数 $C$ 来确定，根据公式，$C$ 与 $\lambda$ 同时出现的情况只在下面这个公式中存在：

$\frac{C}{k!}$ $=$ $\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}.$

但是，上面这个公式中存在一个未知量 $k.$

至此，无论我们接下来采取什么解题思路，一个首要的问题就是要移除未知量 $k$ 这个障碍。

如何移除呢？题目中并没有给出 $k$ 的值，也没有可供解出 $k$ 的关系式。不过，既然要解出 $k$ 就先来想想 $k$ 的含义吧。

在泊松分布的定义中，$X$ 是随机变量，由泊松分布公式中的 “$P{X=k}$” 我们知道，$k$ 就是用来给 $X$ 赋值的，不同的 $k$ 值对应不同的概率，而 $k$ 的取值范围是 $0,1,2,\dots n.$ 根据概率分布函数的特点我们知道，在一次随机实验中，一定会有一个随机变量发生，如果我们手里有全部的随机变量，那么在任何一次实验中都会有一个随机变量在我们手里发生，从整体上看这就是一个必然事件。

于是，我们知道，如果让 $k$ 取到所有可能取到的值并计算概率，之后把这些概率相加，那么和一定是 $1$, 即：

$\sum_{k=0}^{\infty}$ $\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$ $=$ $\sum_{k=0}^{\infty}$ $\frac{C}{k!}$ $=$ $C\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}$ $=1.$

这里需要我们知道一个额外的知识点，就是自然常数（自然对数的底数） $e$ 的表示方法。

$e$ 有两种表示方法，如下：

方法一：$e=\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}.$

方法二：$e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots\frac{1}{n!}.$

注意：$0!=1.$

于是，我们有：

$C\sum_{k=0}^{\infty}$ $\frac{1}{k!}$ $=$ $Ce$ $=$ $1$ $\Rightarrow C$ $=$ $\frac{1}{e}$ $=$ $e^{-1}.$

又因为 $C$ $=$ $\lambda^{k}e^{-\lambda},$ 我们有：

$\lambda^{k}e^{-\lambda}$ $=$ $e^{-1}.$

于是有：

$\lambda$ $=$ $1$, $k=1.$

到这里就解出 $\lambda$ 的数值了，再结合前面的分析，我们就可以解出 $E(X^{2}):$

$E(X^2)$ $=$ $\lambda+\lambda^{2}$ $=$ $1$ $+$ $1^{2}$ $=$ $1$ $+$ $1$ $=$ $2.$

综上可知，本题的正确答案是：$2$

EOF

一、题目

若 $A$, $B$ 为任意两个随机事件，则 ( )

( A ) $P(AB)$ $\leqslant$ $P(A)P(B)$.

( B ) $P(AB)$ $\geqslant$ $P(A)P(B)$.

( C ) $P(AB)$ $\leqslant$ $\frac{P(A)+P(B)}{2}$.

( D ) $P(AB)$ $\geqslant$ $\frac{P(A)+P(B)}{2}$.

二、解析

我们知道，$AB$ $\Leftrightarrow$ $A$ $\cap$ $B$.

于是，我们知道，$AB$ $\subset$ $A$, $AB$ $\subset$ $B$.

接下来，根据概率的基本性质中的可比性：

设 $A$, $B$ 是两个事件，若 $A$ $\subset$ $B$, 则有：

$P(A)$ $\leqslant$ $P(B)$;
$P(B-A)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(A)$.

于是，我们知道：

$P(AB)$ $\leqslant$ $P(A)$; ①

$P(AB)$ $\leqslant$ $P(B)$. ②

接下来，将 ① 式与 ② 式联立可得：

$P(AB)$ $+$ $P(AB)$ $\leqslant$ $P(A)$ $+$ $P(B)$ $\Leftrightarrow$ $2$ $\cdot$ $P(AB)$ $\leqslant$ $P(A)$ $+$ $P(B)$ $\Leftrightarrow$ $P(AB)$ $\leqslant$ $\frac{P(A)+P(B)}{2}$.

综上可知，本题的正确选项是：$C$.

EOF