幂级数的逐项积分公式(B026) 问题已知,幂级数 ∑n=0∞ an xn 和函数 f(x) 在其收敛域 I 上可积,则,根据逐项积分公式,∫0x f(t) dt = ?选项[A]. ∫0x f(t) dt = ∑n=0∞ annxn[B]. ∫0x f(t) dt = ∑n=0∞ annxn+1[C]. ∫0x f(t) dt = ∑n=0∞ ann+1xn[D]. ∫0x f(t) dt = ∑n=0∞ ann+1xn+1 答 案 ∫0x f(t) dt = ∫0x ( ∑n=0∞ an xn ) dx = ∑n=0∞ ( ∫0x an xn dx ) = ∑n=0∞ ann+1xn+1
幂级数和其函数再收敛域上的性质(B026) 问题已知,幂级数 ∑n=0∞ an xn = f(x), 则他们在其收敛域 I 上具有什么性质?选项[A]. 不连续[B]. 连续[C]. 不确定 答 案 幂级数 ∑n=0∞ an xn 和其对应的函数 f(x) 在其收敛域 I 上都是连续的。
幂级数的加减运算性质(B026) 问题已知 ∑n=0∞ an xn = f(x), ∑n=0∞ bn xn = g(x), 且,这两个幂级数的收敛半径分别为 R1, R2, 令,R = min {R1,R2}, 则 ∑n=0∞ an xn ± ∑n=0∞ bn xn = ? 选项[A]. ∑n=0∞ an xn ± ∑n=0∞ bn xn = ∑n=0∞ ( an xn ± bn xn )[B]. ∑n=0∞ an xn ± ∑n=0∞ bn xn = ∑n=0∞ ( an ∓ bn ) xn[C]. ∑n=0∞ an xn ± ∑n=0∞ bn xn = ∑n=0∞ ( an ± bn ) xn[D]. ∑n=0∞ an xn ± ∑n=0∞ bn xn = ∑n=0∞ ( 1an ± 1bn ) xn 答 案 ∑n=0∞ an xn ± ∑n=0∞ bn xn = ∑n=0∞ ( an ± bn ) xn = f(x) ± g(x). 其中,x ∈ (−R,R). 且 ∑n=0∞ (an±bn) xn 在 (−R,R) 内绝对收敛.
幂级数的收敛区间(B026) 问题已知,幂级数 ∑n=0∞ an xn 的收敛半径为 R, 则,以下哪个选项是该幂级数的收敛区间?选项[A]. (−2R,2R)[B]. (0,R)[C]. (−R,R)[D]. (−R2,R2) 答 案 (−R,R)
幂级数的收敛半径:ρ = +∞(B026) 问题已知,有幂级数 ∑n=0∞ an xn, 且,当 n ≥ N 时,该幂级数的系数 an ≠ 0. 若 limn→∞ |an+1an| = ρ, 并且 ρ = +∞, 则该幂级数的收敛半径 R = ?选项[A]. R = ρ[B]. R = 1[C]. R = +∞[D]. R = 0 答 案 R = 0
幂级数的收敛半径:ρ = 0(B026) 问题已知,有幂级数 ∑n=0∞ an xn, 且,当 n ≥ N 时,该幂级数的系数 an ≠ 0. 若 limn→∞ |an+1an| = ρ, 并且 ρ = 0, 则该幂级数的收敛半径 R = ?选项[A]. R = −∞[B]. R = +∞[C]. R = 1ρ[D]. R = 0 答 案 R = +∞
幂级数的收敛半径:0 < ρ < +∞(B026) 问题已知,有幂级数 ∑n=0∞ an xn, 且,当 n ≥ N 时,该幂级数的系数 an ≠ 0. 若 limn→∞ |an+1an| = ρ, 并且 0 < ρ < +∞, 则该幂级数的收敛半径 R = ?选项[A]. R = ρ[B]. R = 1ρ[C]. R = ρ2[D]. R = −1ρ 答 案 R = 1ρ
关于 ( x − x0 ) 的幂级数(B026) 问题以下哪个是关于 ( x − x0 ) 的幂级数?选项[A]. ∑n=0∞ an n(x−x0)[B]. ∑n=0∞ an (x−x0)[C]. ∑n=0∞ an (x−x0)n[D]. ∑n=0∞ (x−x0)an 答 案 ∑n=0∞ an (x−x0)n
关于 x 的幂级数(B026) 问题以下哪个是关于 x 的幂级数?选项[A]. ∑n=0∞ an nx[B]. ∑n=0∞ an x[C]. ∑n=0∞ an xn[D]. ∑n=0∞ xan 答 案 ∑n=0∞ an xn
交错级数敛散性的判别法/莱布尼兹准则(B025) 问题当交错级数 ∑n=1∞ (−1)n−1 un ( un > 0 ) 满足以下哪个选项中的条件时,可以说明该交错级数收敛?选项[A]. un ≥ un+1, ( n = 1, 2, ⋯ ) 且 limn→∞ un = 0[B]. un ≤ un+1, ( n = 1, 2, ⋯ ) 且 limn→∞ un = 0[C]. un ≥ un+1, ( n = 1, 2, ⋯ ) 且 limn→∞ un = 1[D]. un ≥ un+1, ( n = 1, 2, ⋯ ) 或 limn→∞ un = 0 答 案 若 un ≥ un+1, ( n = 1, 2, ⋯ ) 且 limn→∞ un = 0, 则,该交错级数收敛,并且,其和 S ⩽ u1, 余项 | Rn | ⩽ un+1.
条件收敛的结论(B025) 问题根据条件收敛的结论,若 ∑n=1∞ un 条件收敛,则以下选项中,正确的是哪个?选项[A]. ∑n=1∞ un 中所有正项所构成的级数一定发散,所有负项所构成的级数一定收敛[B]. ∑n=1∞ | un | 中所有正项(或负项) 所构成的级数一定发散[C]. ∑n=1∞ un 中所有正项(或负项) 所构成的级数一定收敛[D]. ∑n=1∞ un 中所有正项(或负项) 所构成的级数一定发散 答 案 ∑n=1∞ un 中所有正项(或负项) 所构成的级数一定发散
绝对收敛的结论(B025) 问题根据绝对收敛的结论,若 ∑n=1∞ | un | 收敛,则以下选项中,正确的是哪个?选项[A]. | ∑n=1∞ un | 必收敛[B]. ∑n=1∞ un 可能收敛[C]. ∑n=1∞ un 必发散[D]. ∑n=1∞ un 必收敛 答 案 ∑n=1∞ un 必收敛
条件收敛的定义(B025) 问题已知,有一任意项级数 ∑n=1∞ un, 则,根据绝对收敛的定义,以下哪个选项可以说明 ∑n=1∞ un 条件收敛?选项[A]. | ∑n=1∞ un | 发散,且 ∑n=1∞ un 收敛[B]. ∑n=1∞ | un | 发散,且 ∑n=1∞ un 发散[C]. ∑n=1∞ | un | 发散,且 ∑n=1∞ un 收敛[D]. ∑n=1∞ | un | 发散,且 ∑n=1∞ un 收敛 答 案 ∑n=1∞ | un | 收敛
绝对收敛的定义(B025) 问题已知,有一任意项级数 ∑n=1∞ un, 则,根据绝对收敛的定义,以下哪个选项可以说明 ∑n=1∞ un 绝对收敛?选项[A]. ∑n=1∞ un 收敛[B]. ∑n=1∞ | un | 发散[C]. ∑n=1∞ | un | 收敛[D]. | ∑n=1∞ un | 收敛 答 案 ∑n=1∞ | un | 收敛
正项级数的根值判别法:limn→∞ unn = ρ < 1(B024) 问题已知 un ≥ 0, n = 1, 2, ⋯, 若,对 ∑n=1∞ un, 有 limn→∞ unn = ρ < 1, 则 ∑n=1∞ un 的敛散性如何? (适用于 un 中含有以 n 为指数幂的因子)选项[A]. 无法确定[B]. 收敛[C]. 发散 答 案 收敛