标签： 高等数学基础

$y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_t$ $=$ $f(t)$

$\overline{y_t}$ $+$ $\widetilde{y_t}$

$y_t$ $=$ $y_C(t)$ $+$ $y_t^{\ast }$

$y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_t$ $=$ $0$

观察可知，方程 $y^{\prime \prime }$ $=$ $f(y,y^{\prime })$ 的特点是不显含自变量 $x$, 于是

令 $u$ $=$ $y^{\prime }$, 则有 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$ $=$ $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$ $=$ $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}$ $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ $=$ $u$ $u^{\prime }$.

于是，微分方程 $y^{\prime \prime }$ $=$ $f(y,y^{\prime })$ 变为一个以 $y$ 为自变量，$u(y)$ 为末知函数的一阶微分方程：

$u$ $u^{\prime }$ $=$ $f(y,u)$.

观察可知，方程 $y^{\prime \prime }$ $=$ $f(x,y^{\prime })$ 的特点是不显含末知函数 $y$, 于是：

令 $u$ $=$ $y^{\prime }(x)$, 则微分方程 $y^{\prime \prime }$ $=$ $f(x,y^{\prime })$ 即可变为一阶微分方程：

$u^{\prime }(x)$ $=$ $f(x,u)$

对原式等号两端的表达式做 $n$ 次积分即可

${\mathrm{e}}^{\alpha x}$ $[$ $($ $C_1$ $+$ $C_2$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_k$ $x^{k-1}$ $)$ $\cos \beta x$ $+$ $($ $D_1$ $+$ $D_2$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $D_k$ $x^{k-1}$ $)$ $\sin \beta x$ $]$

$($ $C_1$ $+$ $C_2$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_k$ $x^{k-1}$ $)$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{0}x}$

$y$ $=$ $C_1$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}$ $+$ $C_2$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{2}x}$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_n$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{n}x}$

${\lambda }^n$ $+$ $p_1$ ${\lambda }^{n-1}$ $+$ $p_2$ ${\lambda }^{n-2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $p_{n-1}$ $\lambda$ $+$ $p_n$ $=$ $0$

$y^{(n)}$ $+$ $p_1$ $y^{(n-1)}$ $+$ $p_2$ $y^{(n-2)}$ $+$ $\cdots$ $+$ $p_{n-1}$ $y^{\prime }$ $+$ $p_n$ $y$ $=$ $0$

$x^2$ $y^{\prime \prime }$ $+$ $a$ $x$ $y^{\prime }$ $+$ $b$ $y$ $=$ $f(x)$

$y^{\ast }(x)$ $=$ $x^k$ ${\mathrm{e}}^{\alpha x}$ $[$ $Q_n(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_n(x)$ $\sin \beta x$ $]$

当 $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ 是特征根，$k$ $=$ $1$.

其中 $P_n(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式的一般形式，$Q_n(x)$, $W_n(x)$ 为 $n$ 次多项式的一般形式.