$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q y$ $=$ $0$.
其中，$p$, $q$ 均为常数.
则，该方程的特征方程是多少？
$\lambda^{2}$ $+$ $p$ $\lambda$ $+$ $q$ $=$ $0$
$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q y$ $=$ $0$.
其中，$p$, $q$ 均为常数。
对应的特征方程为：
$\lambda^{2}$ $+$ $p$ $\lambda$ $+$ $q$ $=$ $0$.
则，当上述特征方程的根 $\lambda_1$ $=$ $\lambda_2$ 时，该微分方程的通解 $y(x)$ $=$ $?$
$y(x)$ $=$ $($ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$ $x$ $)$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$
$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q y$ $=$ $0$.
其中，$p$, $q$ 均为常数。
对应的特征方程为：
$\lambda^{2}$ $+$ $p$ $\lambda$ $+$ $q$ $=$ $0$.
则，当上述特征方程的根 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 为互异实根时，该微分方程的通解 $y(x)$ $=$ $?$
$y(x)$ $=$ $C_{1}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$ $+$ $C_{2}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{2} x}$
则，该全微分方程的通解 $?$
$u(x, y)$ $=$ $\int_{x_{0}}^{x}$ $M(x, y)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\int_{y_{0}}^{y}$ $N(x, y)$ $\mathrm{d} y$ $=$ $C$
则，若令 $z$ $=$ $y^{1-n}$, 上述伯努利方程方程，可以转化为以下哪个方程？
伯努利方程可以转化成一阶线性微分方程：
$\frac{1}{1-n}$ $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$ $+$ $p(x)$ $z$ $=$ $q(x)$ $\Rightarrow$
$\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$ $+$ $(1-n)$ $p(x)$ $z$ $=$ $(1-n)$ $q(x)$
$y$ $=$ $\big[$ $\int$ $q(x)$ $\mathrm{e}^{\int \rho(x) \mathrm{d} x}$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $C$ $\big]$ $\mathrm{e}^{-\int \rho(x) d x}$
令 $u$ $=$ $\frac{y}{x}$, 则 $y$ $=$ $u x$, $y^{\prime}$ $=$ $u$ $+$ $x$ $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}$, 于是原方程可化为：
$u$ $+$ $x$ $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}$ $=$ $f(u)$ $\Rightarrow$
$\frac{\mathrm{d} u}{f(u)-u}$ $=$ $\frac{\mathrm{d} x}{x}$ $\Rightarrow$
$\int \frac{\mathrm{d} u}{f(u)-u}$ $=$ $\ln |x|$ $+$ $C$
求出积分后, 再用 $\frac{y}{x}$ 代替 $u$, 便得所给齐次方程的通解.
$f_{1}(x)$ $g_{1}(y)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $f_{2}(x)$ $g_{2}(y)$ $\mathrm{d} y$ $=$ $0$
是一个可分离变量的方程，则以下对该方程的变量分离结果，正确的是哪个？
两边同除 $g_{1}(y)$ $f_{2}(x)$ $\neq$ $0$, 得：
$\frac{f_{1}(x)}{f_{2}(x)}$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\frac{g_{2}(y)}{g_{1}(y)}$ $\mathrm{d} y$ $=$ $0$.
之后，两边积分即可。
$f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$.
那么，上述式子中的傅里叶系数 $b_{n}$ $=$ $?$
$b_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$, 其中 $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$
则，以下关于函数 $f(x)$ 基于奇延拓的傅里叶展开式，正确的是哪个？
$f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$
$f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$.
那么，上述式子中的傅里叶系数 $a_{n}$ $=$ $?$
$a_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$, 其中 $($ $n$ $=$ $0$, $1$, $2$, $\cdots$ $)$
则，以下关于函数 $f(x)$ 基于偶延拓的傅里叶展开式，正确的是哪个？
$f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$
$f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin n x$.
那么，上述式子中的傅里叶系数 $b_{n}$ $=$ $?$
$b_{n}$ $=$ $\frac{2}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin n x$ $\mathrm{~d} x$, 其中 $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$.
则，以下关于函数 $f(x)$ 基于奇延拓的傅里叶展开式，正确的是哪个？
$f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin n x$
$f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos n x$.
那么，上述式子中的傅里叶系数 $a_{n}$ $=$ $?$
$a_{n}$ $=$ $\frac{2}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\cos n x$ $\mathrm{~d} x$, 其中 $($ $n$ $=$ $0$, $1$, $2$, $\cdots$ $)$
