一、前言 
在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）会提供一个与常用极限 $\lim_{x \rightarrow 0}$ $(1 + x)^{\frac{1}{x}}$ $=$ $e$ 对应的一般推广形式——这种推广形式的应用范围更广。
继续阅读“常用极限 $\lim_{x \rightarrow 0}$ $(1 + x)^{\frac{1}{x}}$ $=$ $e$ 的一般推广形式”标签： 高等数学基础
无穷大量与无界变量之间的关系
一、前言
首先说结论：无穷大量必为无界变量，但无界变量不一定是无穷大量。
在下文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）将会对此给出一个通俗的解释。同时，还会以类比的方式，给出极限存在与不存在的一种判断方法。
继续阅读“无穷大量与无界变量之间的关系”证明 $(\arcsin x)^{\prime}$ $=$ $\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
一、题目
证明：
$$
(\arcsin x)^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
$$
难度评级：
继续阅读“证明 $(\arcsin x)^{\prime}$ $=$ $\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$”计算极限 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{n^{n}}{(n+1)^{n}}$
一、题目
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n}}{(n+1)^{n}} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“计算极限 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{n^{n}}{(n+1)^{n}}$”一个常用的无穷大量的比较公式
函数 $f(x)$ $=$ $\frac{x}{1 – e^{\frac{x}{1-x}}}$ 有无间断点并讨论间断点的类型
一、题目
下面的函数有无间断点，若有间断点，则分类讨论其间断点的类型：
$$
f(x) = \frac{x}{1 – e^{\frac{x}{1-x}}}
$$
难度评级：
继续阅读“函数 $f(x)$ $=$ $\frac{x}{1 – e^{\frac{x}{1-x}}}$ 有无间断点并讨论间断点的类型”用夹逼准则求解取整函数的极限
一、题目
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} x \left[ \frac{1}{x} \right] = ?
$$
其中，$\left[ \frac{1}{x} \right]$ 表示的是对 $\frac{1}{x}$ 进行取整的操作.
难度评级：
继续阅读“用夹逼准则求解取整函数的极限”计算极限 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $\frac{2^{n}}{n!}$
一、题目
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2^{n}}{n!} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“计算极限 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $\frac{2^{n}}{n!}$”常用的高阶导数公式汇总
已知 $y$ $=$ $\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$, 求 $y^{\prime}$
一、题目
已知：
$$
y = \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}
$$
求 $y^{\prime}$.
难度评级：
继续阅读“已知 $y$ $=$ $\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$, 求 $y^{\prime}$”常用的基本极限汇总
计算极限 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $\big($ $\frac{1}{n^{2} + 1^{2}}$ $+$ $\frac{2}{n^{2} + 2^{2}}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{n}{n^{2} + n^{2}}$ $\big)$
一、题目
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \Big( \frac{1}{n^{2} + 1^{2}} + \frac{2}{n^{2} + 2^{2}} + \cdots + \frac{n}{n^{2} + n^{2}} \Big) = ?
$$
难度评级：
继续阅读“计算极限 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $\big($ $\frac{1}{n^{2} + 1^{2}}$ $+$ $\frac{2}{n^{2} + 2^{2}}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{n}{n^{2} + n^{2}}$ $\big)$”计算极限 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $\sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \cdots + a_{m}^{n}}$
一、题目
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \cdots + a_{m}^{n}} = ?
$$
其中 $a_{i}$ $>$ $0$ $($ $i$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $m$ $)$.
难度评级：
继续阅读“计算极限 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $\sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \cdots + a_{m}^{n}}$”计算极限 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\sqrt[n]{1 + x^{n} + (\frac{x^{2}}{2})^{n}}$
一、题目
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1 + x^{n} + (\frac{x^{2}}{2})^{n}} = ?
$$
其中，$x$ $>$ $0$.
对变量取值范围的讨论是解答本题的重点，详情见下文……
难度评级：
继续阅读“计算极限 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\sqrt[n]{1 + x^{n} + (\frac{x^{2}}{2})^{n}}$”计算极限 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $\sqrt[n]{1 + 2^{n} + 3^{n}}$
一、题目
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1 + 2^{n} + 3^{n}} = ?
$$
本题可以使用夹逼准则解出，下文中会介绍使用夹逼准则时一个重要的放缩原则和思路。
难度评级：
继续阅读“计算极限 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $\sqrt[n]{1 + 2^{n} + 3^{n}}$”