$n$ 阶常系数线性齐次微分方程的特征方程的通解：当有 $n$ 个不同的实根时（B030）

问题

若 $n$ 阶常系数线性齐次微分方程的特征方程有 $n$ 个不同的实根 ${\lambda }_1$, ${\lambda }_2$, $\cdots$, ${\lambda }_n$, 则，该微分方程的通解 $y$ $=$ $?$

选项

[A].   $y$ $=$ $C_1$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}$ $-$ $C_2$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{2}x}$ $-$ $\cdots$ $-$ $C_n$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{n}x}$

[B].   $y$ $=$ $C_1$ ${\mathrm{e}}^x$ $+$ $C_2$ ${\mathrm{e}}^x$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_n$ ${\mathrm{e}}^x$

[C].   $y$ $=$ $C_1$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}$ $+$ $C_2$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{2}x}$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_n$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{n}x}$

[D].   $y$ $=$ $C_1$ ${\mathrm{e}}^{\frac{x}{{\lambda }_1}}$ $+$ $C_2$ ${\mathrm{e}}^{\frac{x}{{\lambda }_2}}$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_n$ ${\mathrm{e}}^{\frac{x}{{\lambda }_n}}$

   答 案   

$y$ $=$ $C_1$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}$ $+$ $C_2$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{2}x}$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_n$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{n}x}$