$n$ 阶常系数线性齐次微分方程的特征方程的通解：当 $\lambda_{0}$ 为特征方程的 $k$ 重实根时（B030）

问题

若 $\lambda_{0}$ 为 $n$ 阶常系数线性齐次微分方程的特征方程的 $k$ 重实根，其中 $($ $k$ $\leqslant$ $n$ $)$, 则，该微分方程通解中会含有以下哪个选项中的内容？

选项

[A].   $\frac{1}{\lambda_{0}}$ $($ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{k}$ $x^{k-1}$ $)$ $\mathrm{e}^{x}$

[B].   $($ $C_{1}$ $x$ $+$ $C_{2}$ $x^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{k}$ $x^{k}$ $)$ $\mathrm{e}^{\lambda_{0} x}$

[C].   $($ $C_{1}$ $\cdot$ $C_{2}$ $x$ $\cdot$ $\cdots$ $\cdot$ $C_{k}$ $x^{k-1}$ $)$ $\mathrm{e}^{\lambda_{0} x}$

[D].   $($ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{k}$ $x^{k-1}$ $)$ $\mathrm{e}^{\lambda_{0} x}$

   答 案   

$($ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{k}$ $x^{k-1}$ $)$ $\mathrm{e}^{\lambda_{0} x}$