$n$ 阶常系数线性齐次微分方程的特征方程的通解：当 ${\lambda }_0$ 为特征方程的 $k$ 重实根时（B030）

问题

若 ${\lambda }_0$ 为 $n$ 阶常系数线性齐次微分方程的特征方程的 $k$ 重实根，其中 $($ $k$ $⩽$ $n$ $)$, 则，该微分方程通解中会含有以下哪个选项中的内容？

选项

[A].   $\frac{1}{{\lambda }_0}$ $($ $C_1$ $+$ $C_2$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_k$ $x^{k-1}$ $)$ ${\mathrm{e}}^x$

[B].   $($ $C_1$ $x$ $+$ $C_2$ $x^2$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_k$ $x^k$ $)$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{0}x}$

[C].   $($ $C_1$ $\cdot$ $C_2$ $x$ $\cdot$ $\cdots$ $\cdot$ $C_k$ $x^{k-1}$ $)$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{0}x}$

[D].   $($ $C_1$ $+$ $C_2$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_k$ $x^{k-1}$ $)$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{0}x}$

   答 案   

$($ $C_1$ $+$ $C_2$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_k$ $x^{k-1}$ $)$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{0}x}$