计算微分方程 $y$ $y^{\prime \prime}$ $+$ $2$ $(y^{\prime})^{2}$ $=$ $0$ 满足给定初始条件的特解

一、题目

微分方程 $y$ $y^{\prime \prime}$ $+$ $2$ $(y^{\prime})^{2}$ $=$ $0$ 满足初始条件 $y(0)$ $=$ $1$, $y^{\prime}(0)$ $=$ $-1$ 的特解是？

二、解析

下文中出现的 $C_{n}$, 其中 $n$ $=$ $1$, $2$, $3$, $\cdots$ 都特指任意常数。

观察可知，微分方程 $y$ $y^{\prime \prime}$ $+$ $2$ $(y^{\prime})^{2}$ $=$ $0$ 不显含自变量 $x$ ——根据惯例，这里默认 $y$ 是 $x$ 的函数，即认为 $y$ 就表示：$y(x)$.

从而根据公式（点击这里查看有关可降阶的微分方程的更多信息 ）可知，$y$ $y^{\prime \prime}$ $+$ $2$ $(y^{\prime})^{2}$ $=$ $0$ 是一个可降阶的微分方程。

于是，将 $y$ 视作函数 $p(y)$ 的自变量，令：

$$
p(y) = p = y^{\prime} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{
y^{\prime} = p = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}} \quad \textcolor{tan}{①}
$$

用 $p$ 替换 $y^{\prime}$ 其实就是在“降阶”：由 $1$ 阶导降为 $0$ 阶导。

Next

则：

$$
y^{\prime \prime} = \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y} \cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{
y^{\prime \prime} = p \cdot \frac{{d} p}{\mathrm{d} y}} \quad \textcolor{tan}{②}
$$

Next

将上面的 $\textcolor{tan}{①}$ 和 $\textcolor{tan}{②}$ 两个式子带入题中原式，有：

$$
y y^{\prime \prime} + 2 (y^{\prime})^{2} = 0 \Rightarrow
$$

$$
y \cdot \textcolor{cyan}{p} \cdot \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y} + 2 \textcolor{cyan}{p} p = 0 \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{cyan}{p} \textcolor{orange}{ \cdot \Big[ y \cdot \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y} + 2 p \Big] = 0} \quad \textcolor{tan}{③}
$$

Next

由 $\textcolor{tan}{③}$ 式，可知：

$$
\textcolor{cyan}{
p = 0
}
$$

或者：

$$
\textcolor{orange}{
y \cdot \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y} + 2p = 0
}
$$

Next

又由于，当 $x$ $=$ $0$ 时，$p$ $=$ $y^{\prime}(0)$ $=$ $-1$ $\neq$ $0$, 因此，应该将 $p$ $=$ $0$ 这一结论舍去，于是有：

$$
\textcolor{orange}{
y \cdot \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y} + 2p = 0} \Rightarrow
$$

$$
\frac{y}{\mathrm{d} y} \mathrm{d} p = – 2p \Rightarrow
$$

$$
\frac{y}{\mathrm{d} y} = \frac{- 2p}{\mathrm{d} p} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{
\frac{\mathrm{d} y}{y} = \frac{\mathrm{d} p}{- 2p}} \Rightarrow
$$

上式是一个可分离变量的微分方程。

$$
\textcolor{cyan}{\int} \frac{1}{y} \mathrm{d} y = \frac{-1}{2} \textcolor{cyan}{\int} \frac{1}{p} \mathrm{d} p \Rightarrow
$$

$$
\ln |y| = \frac{-1}{2} \ln |p| + C_{1} \Rightarrow
$$

$$
\ln |y| + \frac{1}{2} \ln |p| = \ln |C_{2}| \Rightarrow
$$

$$
2 \ln |y| + \ln |p| = \ln |C_{3}| \Rightarrow
$$

$$
\ln y^{2} + \ln |p| = \ln |C_{3}| \Rightarrow
$$

$$
\ln |p| = \ln |C_{3}| – \ln y^{2} \Rightarrow
$$

$$
\ln |p| = \ln \frac{|C_{3}|}{y^{2}} \Rightarrow
$$

$$
\ln |p| = \ln \Big| \frac{C_{3}}{y^{2}} \Big| \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{
p = \frac{C_{3}}{y^{2}}}.
$$

Next

又由于，当 $x$ $=$ $0$ 时，$y$ $=$ $1$, $p$ $=$ $y^{\prime}$ $=$ $-1$, 于是：

$$
\textcolor{orange}{
p = \frac{C_{3}}{y^{2}}} \Rightarrow
$$

$$
-1 = \frac{C_{3}}{1} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{
C_{3} =-1}.
$$

即：

$$
\textcolor{orange}{
p = y^{\prime} = \frac{-1}{y^{2}}} \Rightarrow
$$

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{-1}{y^{2}} \Rightarrow
$$

上式是一个可分离变量的微分方程。

$$
y^{2} \mathrm{d} y = – \mathrm{d} x \Rightarrow
$$

$$
y^{2} \mathrm{d} y + \mathrm{d} x = 0 \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{cyan}{\int} y^{2} \mathrm{d} y + \textcolor{cyan}{\int} \mathrm{d} x = \textcolor{cyan}{\int} 0 \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{
\frac{1}{3} y^{3} + x = C}.
$$

Next

又，当 $x$ $=$ $0$ 的时候，$y$ $=$ $1$, 于是：

$$
\frac{1}{3} = C \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{cyan}{
C = \frac{1}{3}}.
$$

即：

$$
\textcolor{orange}{
\frac{1}{3} y^{3} + x = \frac{1}{3}} \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{3} – x \Rightarrow
$$

$$
y^{3} = 1 – 3 x \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{red}{
y = \sqrt{1 – 3 x}}.
$$

Next

微分方程 $y$ $y^{\prime \prime}$ $+$ $2$ $(y^{\prime})^{2}$ $=$ $0$ 满足初始条件 $y(0)$ $=$ $1$, $y^{\prime}(0)$ $=$ $-1$ 的特解是：

$$
\textcolor{red}{
y = \sqrt{1 – 3 x}}.
$$

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