求解可降阶的微分方程：$y^{\prime \prime}$ $=$ $f(x, y^{\prime})$（B031）

问题

如何将微分方程 $y^{\prime \prime}$ $=$ $f(x, y^{\prime})$ 降阶为一阶微分方程？

选项

[A]. 令 $u$ $=$ $x^{\prime}(y)$, 则有：$u^{\prime}(y)$ $=$ $f(x, u)$

[B]. 令 $u$ $=$ $x^{\prime}(y)$, 则有：$u^{\prime}(x)$ $=$ $f(x, u)$

[C]. 令 $u$ $=$ $y^{\prime}(x)$, 则有：$u^{\prime \prime}(x)$ $=$ $f(x, u^{\prime})$

[D]. 令 $u$ $=$ $y^{\prime}(x)$, 则有：$u^{\prime}(x)$ $=$ $f(x, u)$

答案

观察可知，方程 $y^{\prime \prime}$ $=$ $f(x, y^{\prime})$ 的特点是不显含末知函数 $y$, 于是：

令 $u$ $=$ $y^{\prime}(x)$, 则微分方程 $y^{\prime \prime}$ $=$ $f(x, y^{\prime})$ 即可变为一阶微分方程：

$u^{\prime}(x)$ $=$ $f(x, u)$

问题

选项

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