线性代数基础归档 - 第19页共20页

副对角线行列式计算公式（C004）

问题

已知，某行列式只有副对角线上元素不全为零，其他位置的元素全为零：
$\left|\begin{array}{cccc} 0 & & & \lambda_{1} \\ & & \lambda_{2} & \\ & \cdots & & \\ \lambda_{n} & & & 0 \end{array}\right|$.

则，该行列式 $D$ $=$ $?$

选项

[A]. $D$ $=$ $(-1)^{\frac{n-1}{2}}$ $\lambda_{1}$ $\lambda_{2}$ $\cdots$ $\lambda_{n}$

[B]. $D$ $=$ $(-1)^{\frac{n}{2}}$ $\lambda_{1}$ $\lambda_{2}$ $\cdots$ $\lambda_{n}$

[C]. $D$ $=$ $\lambda_{1}$ $\lambda_{2}$ $\cdots$ $\lambda_{n}$

[D]. $D$ $=$ $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}$ $\lambda_{1}$ $\lambda_{2}$ $\cdots$ $\lambda_{n}$

答案

$\left|\begin{array}{cccc} 0 & & & \lambda_{1} \\ & & \lambda_{2} & \\ & \cdots & & \\ \lambda_{n} & & & 0 \end{array}\right|$ $=$ $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}$ $\lambda_{1}$ $\lambda_{2}$ $\cdots$ $\lambda_{n}$

行列式的副对角线（C004）

问题

如果用 $\textcolor{orange}{\circ}$ 表示副对角线上的元素，用 $\ast$ 表示除了副对角线元素以外的其他元素。

则，以下哪个选项所表示的副对角线是正确的？

选项

[A]. $\begin{vmatrix} \textcolor{orange}{\circ} & \textcolor{orange}{\circ} & \textcolor{orange}{\circ}\\ \ast & \ast & \ast\\ \ast & \ast & \ast \end{vmatrix}$

[B]. $\begin{vmatrix} \textcolor{orange}{\circ} & \ast & \ast\\ \ast & \textcolor{orange}{\circ} & \ast\\ \ast & \ast & \textcolor{orange}{\circ} \end{vmatrix}$

[C]. $\begin{vmatrix} \ast & \ast & \textcolor{orange}{\circ}\\ \ast & \textcolor{orange}{\circ} & \ast\\ \textcolor{orange}{\circ} & \ast & \ast \end{vmatrix}$

[D]. $\begin{vmatrix} \textcolor{orange}{\circ} & \ast & \ast\\ \textcolor{orange}{\circ} & \ast & \ast\\ \textcolor{orange}{\circ} & \ast & \ast \end{vmatrix}$

答案

$\begin{vmatrix} \ast & \ast & \textcolor{orange}{\circ}\\ \ast & \textcolor{orange}{\circ} & \ast\\ \textcolor{orange}{\circ} & \ast & \ast \end{vmatrix}$

行列式的主对角线（C004）

问题

如果用 $\textcolor{orange}{\odot}$ 表示主对角线上的元素，用 $\ast$ 表示除了主对角线元素以外的其他元素。

则，以下哪个选项所表示的主对角线是正确的？

选项

[A]. $\begin{vmatrix} \textcolor{orange}{\odot} & \textcolor{orange}{\odot} & \textcolor{orange}{\odot}\\ \ast & \ast & \ast\\ \ast & \ast & \ast \end{vmatrix}$

[B]. $\begin{vmatrix} \ast & \ast & \textcolor{orange}{\odot}\\ \ast & \textcolor{orange}{\odot} & \ast\\ \textcolor{orange}{\odot} & \ast & \ast \end{vmatrix}$

[C]. $\begin{vmatrix} \textcolor{orange}{\odot} & \ast & \ast\\ \ast & \textcolor{orange}{\odot} & \ast\\ \ast & \ast & \textcolor{orange}{\odot} \end{vmatrix}$

[D]. $\begin{vmatrix} \textcolor{orange}{\odot} & \ast & \ast\\ \textcolor{orange}{\odot} & \ast & \ast\\ \textcolor{orange}{\odot} & \ast & \ast \end{vmatrix}$

答案

$\begin{vmatrix} \textcolor{orange}{\odot} & \ast & \ast\\ \ast & \textcolor{orange}{\odot} & \ast\\ \ast & \ast & \textcolor{orange}{\odot} \end{vmatrix}$

下三角行列式计算公式（C004）

问题

已知，某行列式只有主对角线下方的元素不全为零（下三角行列式），其他位置的元素全为零：

$\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$

则，该行列式 $D$ $=$ $?$

选项

[A]. $D$ $=$ $a_{11}$ $a_{22}$ $\cdots$ $a_{n n}$

[B]. $D$ $=$ $\frac{1}{a_{11}}$ $\frac{1}{a_{22}}$ $\cdots$ $\frac{1}{a_{n n}}$

[C]. $D$ $=$ $\frac{1}{n}$ $a_{11}$ $a_{22}$ $\cdots$ $a_{n n}$

[D]. $D$ $=$ $a_{11}$ $+$ $a_{22}$ $+$ $\cdots$ $+$ $a_{n n}$

答案

$\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$ $=$ $a_{11}$ $a_{22}$ $\cdots$ $a_{n n}$

上三角行列式计算公式（C004）

问题

已知，某行列式只有主对角线上方的元素不全为零（上三角行列式），其他位置的元素全为零：

$\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$

则，该行列式 $D$ $=$ $?$

选项

[A]. $D$ $=$ $\frac{1}{a_{11}}$ $\frac{1}{a_{22}}$ $\cdots$ $\frac{1}{a_{n n}}$

[B]. $D$ $=$ $\frac{1}{n}$ $a_{11}$ $a_{22}$ $\cdots$ $a_{n n}$

[C]. $D$ $=$ $a_{11}$ $+$ $a_{22}$ $+$ $\cdots$ $+$ $a_{n n}$

[D]. $D$ $=$ $a_{11}$ $a_{22}$ $\cdots$ $a_{n n}$

答案

$\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$ $=$ $a_{11}$ $a_{22}$ $\cdots$ $a_{n n}$

主对角线行列式计算公式（C004）

问题

已知，某行列式只有主对角线上元素不全为零，其他位置的元素全为零：

$\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$

则，该行列式 $D$ $=$ $?$

选项

[A]. $D$ $=$ $a_{11}^{2}$ $a_{22}^{2}$ $\cdots$ $a_{n n}^{2}$

[B]. $D$ $=$ $a_{11}$ $+$ $a_{22}$ $+$ $\cdots$ $+$ $a_{n n}$

[C]. $D$ $=$ $\frac{1}{2}$ $a_{11}$ $a_{22}$ $\cdots$ $a_{n n}$

[D]. $D$ $=$ $a_{11}$ $a_{22}$ $\cdots$ $a_{n n}$

答案

$\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$ $=$ $a_{11}$ $a_{22}$ $\cdots$ $a_{n n}$

行列式的错列展开定理（C003）

问题

已知，行列式中 $a_{i j}$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列的元素，$A_{i j}$ 表示该元素的代数余子式，$M_{i j}$ 表示该元素的余子式，$D$ 表示该行列式的值。

则，如果要使用元素 $a_{ij}$ 和第 $j$ 列（$i$ $\neq$ $j$）展开该行列式，以下哪个选项是正确的？

选项

[A]. $a_{1 i}$ $A_{1 j}$ $+$ $a_{2 i}$ $A_{2 j}$ $+$ $\cdots$ $+$ $a_{n i}$ $A_{n j}$ $=$ $1$

[B]. $a_{1 i}$ $A_{1 j}$ $+$ $a_{2 i}$ $A_{2 j}$ $+$ $\cdots$ $+$ $a_{n i}$ $A_{n j}$ $=$ $0$

[C]. $a_{1 i}$ $M_{1 j}$ $+$ $a_{2 i}$ $M_{2 j}$ $+$ $\cdots$ $+$ $a_{n i}$ $M_{n j}$ $=$ $0$

[D]. $a_{1 i}$ $A_{1 j}$ $+$ $a_{2 i}$ $A_{2 j}$ $+$ $\cdots$ $+$ $a_{n i}$ $A_{n j}$ $=$ $D$

答案

行列式某一行或某一列的元素 $a_{i j}$ 分别与另一行或另一列的对应元素的代数余子式的乘积之和等于 0, 即：

$a_{1 i}$ $A_{1 j}$ $+$ $a_{2 i}$ $A_{2 j}$ $+$ $\cdots$ $+$ $a_{n i}$ $A_{n j}$ $=$ $0$.

行列式的错行展开定理（C003）

问题

已知，行列式中 $a_{i j}$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列的元素，$A_{i j}$ 表示该元素的代数余子式，$M_{i j}$ 表示该元素的余子式，$D$ 表示该行列式的值。

则，如果要使用元素 $a_{ij}$ 和第 $j$ 行（$i$ $\neq$ $j$）展开该行列式，以下哪个选项是正确的？

选项

[A]. $a_{i 1}$ $M_{j 1}$ $+$ $a_{i 2}$ $M_{j 2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $a_{i n}$ $M_{j n}$ $=$ $0$

[B]. $a_{i 1}$ $A_{j 1}$ $+$ $a_{i 2}$ $A_{j 2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $a_{i n}$ $A_{j n}$ $=$ $D$

[C]. $a_{i 1}$ $A_{j 1}$ $+$ $a_{i 2}$ $A_{j 2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $a_{i n}$ $A_{j n}$ $=$ $1$

[D]. $a_{i 1}$ $A_{j 1}$ $+$ $a_{i 2}$ $A_{j 2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $a_{i n}$ $A_{j n}$ $=$ $0$

答案

行列式某一行或某一列的元素 $a_{i j}$ 分别与另一行或另一列的对应元素的代数余子式的乘积之和等于 0, 即：

$a_{i 1}$ $A_{j 1}$ $+$ $a_{i 2}$ $A_{j 2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $a_{i n}$ $A_{j n}$ $=$ $0$.

行列式的按列展开定理（C003）

问题

已知，行列式中 $a_{i j}$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列的元素，$A_{i j}$ 表示该元素的代数余子式，$M_{i j}$ 表示该元素的余子式。

则，如果要以按列展开的方式计算一个行列式的数值 $D$，以下哪个选项是正确的？

选项

[A]. $D$ $=$ $\frac{a_{1 j}}{A_{1 j}}$ $+$ $\frac{a_{2 j}}{A_{2 j}}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{a_{n j}}{A_{n j}}$

[B]. $D$ $=$ $a_{1 j}$ $A_{1 j}$ $\times$ $a_{2 j}$ $A_{2 j}$ $\times$ $\cdots$ $\times$ $a_{n j}$ $A_{n j}$

[C]. $D$ $=$ $a_{1 j}$ $M_{1 j}$ $+$ $a_{2 j}$ $M_{2 j}$ $+$ $\cdots$ $+$ $a_{n j}$ $M_{n j}$

[D]. $D$ $=$ $a_{1 j}$ $A_{1 j}$ $+$ $a_{2 j}$ $A_{2 j}$ $+$ $\cdots$ $+$ $a_{n j}$ $A_{n j}$

答案

行列式等于它的某一行 (列) 元素与其对应的代数余子式乘积之和。若按第 $j$ 列展开，则有：

$D$ $=$ $a_{1 j}$ $A_{1 j}$ $+$ $a_{2 j}$ $A_{2 j}$ $+$ $\cdots$ $+$ $a_{n j}$ $A_{n j}$.

其中，$i$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $n$.

行列式的按行展开定理（C003）

问题

已知，行列式中 $a_{i j}$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列的元素，$A_{i j}$ 表示该元素的代数余子式，$M_{i j}$ 表示该元素的余子式。

则，如果要以按行展开的方式计算一个行列式的数值 $D$，以下哪个选项是正确的？

选项

[A]. $D$ $=$ $a_{i 1}$ $A_{i 1}$ $\times$ $a_{i 2}$ $A_{i 2}$ $\times$ $\cdots$ $\times$ $a_{i n}$ $A_{i n}$

[B]. $D$ $=$ $a_{i 1}$ $M_{i 1}$ $+$ $a_{i 2}$ $M_{i 2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $a_{i n}$ $M_{i n}$

[C]. $D$ $=$ $a_{i 1}$ $A_{i 1}$ $+$ $a_{i 2}$ $A_{i 2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $a_{i n}$ $A_{i n}$

[D]. $D$ $=$ $\frac{a_{i 1}}{A_{i 1}}$ $+$ $\frac{a_{i 2}}{A_{i 2}}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{a_{i n}}{A_{i n}}$

答案

行列式等于它的某一行 (列) 元素与其对应的代数余子式乘积之和。若按第 $i$ 行展开，则有：

$D$ $=$ $a_{i 1}$ $A_{i 1}$ $+$ $a_{i 2}$ $A_{i 2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $a_{i n}$ $A_{i n}$.

其中，$i$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $n$.

代数余子式 $A_{i j}$ 与元素 $a_{i j}$ 的位置有关吗（C002）

问题

代数余子式 $A_{i j}$ 与元素 $a_{i j}$ 的位置有关吗？

选项

[A]. 有关

[B]. 无关

[C]. 需要看具体情况

[D]. 关系不确定

答案

无关

代数余子式的定义（C002）

问题

已知，$M_{i j}$ 是行列式中元素 $a_{i j}$ 的余子式，则，该元素的代数余子式 $ A_{i j}$ $=$ $?$

选项

[A]. $A_{i j}$ $=$ $(-1)^{i-j}$ $M_{i j}$

[B]. $A_{i j}$ $=$ $(-1)^{i+j}$ $M_{i j}$

[C]. $A_{i j}$ $=$ $(-1)^{i+j+1}$ $M_{i j}$

[D]. $A_{i j}$ $=$ $- M_{i j}$

答案

$A_{i j}$ $=$ $(-1)^{i+j}$ $M_{i j}$

余子式的定义（C002）

问题

已知，有如下行列式：
$\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & \textcolor{Red}{e} & f\\ g & h & i \end{vmatrix}$.

则，在上述行列式，元素 $e$ 对应的余子式是什么？

选项

[A]. $\begin{bmatrix} e & f\\ h & i \end{bmatrix}$

[B]. $\begin{bmatrix} b & c\\ h & i \end{bmatrix}$

[C]. $\begin{bmatrix} a & b\\ g & h \end{bmatrix}$

[D]. $\begin{bmatrix} a & c\\ g & i \end{bmatrix}$

答案

$\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & \textcolor{Red}{e} & f\\ g & h & i \end{vmatrix}$ 的余子式：

$\begin{bmatrix} a & c\\ g & i \end{bmatrix}$

说明：
在 $n$ 阶行列式中，划去元素 $a_{i j}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列，剩下的元素按照原来的位置组成的 $n$ $-$ $1$ 阶行列式，称为 $a_{i j}$ 的余子式，记作 $M_{i j}$.