标签： 线性代数基础

行列式等于它的某一行 (列) 元素与其对应的代数余子式乘积之和。若按第 $j$ 列展开，则有：

$D$ $=$ $a_{1 j}$ $A_{1 j}$ $+$ $a_{2 j}$ $A_{2 j}$ $+$ $\cdots$ $+$ $a_{n j}$ $A_{n j}$.

其中，$i$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $n$.

行列式等于它的某一行 (列) 元素与其对应的代数余子式乘积之和。若按第 $i$ 行展开，则有：

$D$ $=$ $a_{i 1}$ $A_{i 1}$ $+$ $a_{i 2}$ $A_{i 2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $a_{i n}$ $A_{i n}$.

其中，$i$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $n$.

无关

$A_{i j}$ $=$ $(-1)^{i+j}$ $M_{i j}$

$\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & \textcolor{Red}{e} & f\\ g & h & i \end{vmatrix}$ 的余子式：

$\begin{bmatrix} a & c\\ g & i \end{bmatrix}$

说明：
在 $n$ 阶行列式中，划去元素 $a_{i j}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列，剩下的元素按照原来的位置组成的 $n$ $-$ $1$ 阶行列式，称为 $a_{i j}$ 的余子式，记作 $M_{i j}$.

行列式变号

行列式的值不变

该行列式等于 $0$

该行列式等于 $0$

该行列式等于 $0$

$\left|\begin{array}{lll} \textcolor{Red}{a_{11}} \textcolor{yellow}{+} \textcolor{cyan}{b_{11}} & a_{12} & a_{13} \\ \textcolor{Red}{a_{21}} \textcolor{yellow}{+} \textcolor{cyan}{b_{21}} & a_{22} & a_{23} \\ \textcolor{Red}{a_{31}} \textcolor{yellow}{+} \textcolor{cyan}{b_{31}} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|$ $=$ $\left|\begin{array}{lll} \textcolor{Red}{a_{11}} & a_{12} & a_{13} \\ \textcolor{Red}{a_{21}} & a_{22} & a_{23} \\ \textcolor{Red}{a_{31}} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|$ $\textcolor{yellow}{+}$ $\left|\begin{array}{lll} \textcolor{cyan}{b_{11}} & a_{12} & a_{13} \\ \textcolor{cyan}{b_{21}} & a_{22} & a_{23} \\ \textcolor{cyan}{b_{31}} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|$

$\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \textcolor{red}{k} a_{i 1} & \textcolor{red}{k} a_{i 2} & \cdots & \textcolor{red}{k} a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$ $=$ $\textcolor{red}{k}$ $\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right|$

$D$ $=$ $D^{T}$