齐次线性方程组只有零解的情况(C006)

问题

已知,有齐次线性方程组:
$\left\{\begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\ \vdots \\ a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=0 \end{array}\right.$.

且,该其次线性方程组的系数矩阵 $D$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$

那么,当满足什么条件的时候,该线性方程组有且只有零解?

选项

[A].   $D$ $=$ $1$

[B].   $D$ $\neq$ $1$

[C].   $D$ $=$ $0$

[D].   $D$ $\neq$ $0$


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当 $D$ $\neq$ $0$ 时,该线性方程组只有零解:
$x_{1}$ $=$ $x_{2}$ $=$ $\cdots$ $=$ $x_{n}$ $=$ $0$.

用克拉默法则计算线性方程组的解(C006)

问题

已知,有线性方程组:
$\left\{\begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\ \vdots \\ a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=b_{n} \end{array}\right.$

其系数行列式为 $D$, 而 $D_{j}$ 则是把系数行列式 $D$ 中第 $j$ 列用常数项代替后所得到的 $n$ 阶行列式,其中 $j$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $n$.

则,根据克拉默法则,如果该线性方程组有唯一的解,那么,这组解该怎么表示?

选项

[A].   $x_{1}$ $=$ $D_{1} D$, $x_{2}$ $=$ $D_{2} D$, $\cdots$, $x_{n}$ $=$ $D_{n} D$

[B].   $x_{1}$ $=$ $\frac{D_{1}}{D}$, $x_{2}$ $=$ $\frac{D_{2}}{D}$, $\cdots$, $x_{n}$ $=$ $\frac{D_{n}}{D}$

[C].   $x_{1}$ $=$ $\frac{D}{D_{1}}$, $x_{2}$ $=$ $\frac{D}{D_{2}}$, $\cdots$, $x_{n}$ $=$ $\frac{D}{D_{n}}$

[D].   $x_{1}$ $=$ $D_{1}$, $x_{2}$ $=$ $D_{2}$, $\cdots$, $x_{n}$ $=$ $D_{n}$


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$x_{1}$ $=$ $\frac{\textcolor{orange}{D_{1}}}{\textcolor{cyan}{D}}$, $x_{2}$ $=$ $\frac{\textcolor{orange}{D_{2}}}{\textcolor{cyan}{D}}$, $\cdots$, $x_{n}$ $=$ $\frac{\textcolor{orange}{D_{n}}}{\textcolor{cyan}{D}}$

通过系数行列式判断线性方程组是否有唯一解(C006)

问题

已知,有线性方程组:
$\left\{\begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\ \vdots \\ a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=b_{n} \end{array}\right.$

其系数行列式为:
$D$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$

则,当系数行列式 $D$ 满足什么条件的时候,该线性方程组有唯一解?

选项

[A].   $D$ $=$ $0$

[B].   $D$ $\neq$ $0$

[C].   $D$ $=$ $1$

[D].   $D$ $\neq$ $1$


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$D$ $\neq$ $0$

线性方程组中的系数行列式(C006)

问题

已知,有线性方程组:
$\left\{\begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\ \vdots \\ a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=b_{n} \end{array}\right.$

或者:
$\left\{\begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\ \vdots \\ a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=0 \end{array}\right.$

则,上述线性方程组的系数行列式 $D$ $=$ $?$

选项

[A].   $D$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{(1) (n-1)} & b_{1} \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{(n-1) (n-1)} & b_{n} \end{array}\right|$

[B].   $D$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} a_{n1} & \cdots & a_{n n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{1 1} & \cdots & a_{1 n} \end{array}\right|$

[C].   $D$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$

[D].   $D$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} b_{1} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\b_{n} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$


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$D$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$


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