克拉默法则归档 - 荒原之梦

齐次线性方程组只有零解的情况（C006）

问题

已知，有齐次线性方程组：
$\left\{\begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\ \vdots \\ a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=0 \end{array}\right.$.

且，该其次线性方程组的系数矩阵 $D$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$

那么，当满足什么条件的时候，该线性方程组有且只有零解？

选项

[A]. $D$ $=$ $0$

[B]. $D$ $\neq$ $0$

[C]. $D$ $=$ $1$

[D]. $D$ $\neq$ $1$

答案

当 $D$ $\neq$ $0$ 时，该线性方程组只有零解：
$x_{1}$ $=$ $x_{2}$ $=$ $\cdots$ $=$ $x_{n}$ $=$ $0$.

用克拉默法则计算线性方程组的解（C006）

问题

已知，有线性方程组：
$\left\{\begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\ \vdots \\ a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=b_{n} \end{array}\right.$

其系数行列式为 $D$, 而 $D_{j}$ 则是把系数行列式 $D$ 中第 $j$ 列用常数项代替后所得到的 $n$ 阶行列式，其中 $j$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $n$.

则，根据克拉默法则，如果该线性方程组有唯一的解，那么，这组解该怎么表示？

选项

[A]. $x_{1}$ $=$ $\frac{D}{D_{1}}$, $x_{2}$ $=$ $\frac{D}{D_{2}}$, $\cdots$, $x_{n}$ $=$ $\frac{D}{D_{n}}$

[B]. $x_{1}$ $=$ $D_{1}$, $x_{2}$ $=$ $D_{2}$, $\cdots$, $x_{n}$ $=$ $D_{n}$

[C]. $x_{1}$ $=$ $D_{1} D$, $x_{2}$ $=$ $D_{2} D$, $\cdots$, $x_{n}$ $=$ $D_{n} D$

[D]. $x_{1}$ $=$ $\frac{D_{1}}{D}$, $x_{2}$ $=$ $\frac{D_{2}}{D}$, $\cdots$, $x_{n}$ $=$ $\frac{D_{n}}{D}$

答案

$x_{1}$ $=$ $\frac{\textcolor{orange}{D_{1}}}{\textcolor{cyan}{D}}$, $x_{2}$ $=$ $\frac{\textcolor{orange}{D_{2}}}{\textcolor{cyan}{D}}$, $\cdots$, $x_{n}$ $=$ $\frac{\textcolor{orange}{D_{n}}}{\textcolor{cyan}{D}}$

通过系数行列式判断线性方程组是否有唯一解（C006）

问题

其系数行列式为：
$D$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$

则，当系数行列式 $D$ 满足什么条件的时候，该线性方程组有唯一解？

选项

[A]. $D$ $=$ $0$

[B]. $D$ $\neq$ $0$

[C]. $D$ $=$ $1$

[D]. $D$ $\neq$ $1$

答案

$D$ $\neq$ $0$

线性方程组中的系数行列式（C006）

问题

或者：
$\left\{\begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\ \vdots \\ a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=0 \end{array}\right.$

则，上述线性方程组的系数行列式 $D$ $=$ $?$

选项

[A]. $D$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} b_{1} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\b_{n} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$

[B]. $D$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{(1) (n-1)} & b_{1} \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{(n-1) (n-1)} & b_{n} \end{array}\right|$

[C]. $D$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} a_{n1} & \cdots & a_{n n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{1 1} & \cdots & a_{1 n} \end{array}\right|$

[D]. $D$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$

答案

$D$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$