初等 行 变 换 对 行 或 列 向 量 组 的线性相关性 都 无 影 响
原 因 ：对矩阵做初等行变换时，原本在同一列的元素，在行变换发生之后，仍然会在该列中，只不过在该列中的位置会产生变化。
无论是初等行变换还是初等列变换，都 不 会 影响矩阵的秩。
而且，由于矩阵的行秩和列秩一定相等，因此，换种说法就是，初等变换 不 会 影响矩阵的行秩或列秩。
行秩 $\textcolor{red}{=}$ 列秩
矩阵的行秩和列秩是 相 等 的，统称为“秩”——也就是说，对于一个矩阵而言，其秩对应的值是 唯 一 的。
有关矩阵 秩 的标准 定 义 如下：
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m$ $\times$ $n$ 矩阵，如果 $\boldsymbol{A}$ 中 存 在 $\textcolor{orange}{r}$ 阶子式 不 为 $\textcolor{white}{0}$, 而 所 有 的 $\textcolor{orange}{r}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{1}$ 阶子式 全 为 $\textcolor{white}{0}$, 即 $\boldsymbol{A}$ 的非零子式的最高阶数为 $r$, 则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $\textcolor{orange}{r}$, 记作 $r(\boldsymbol{A})$. 同时，规定零矩阵的秩为 $0$.
继续阅读“矩阵的秩与相关推论” 存 在 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的 $\textcolor{red}{r}$ 阶子式 不 为 零 ，且矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的 所 有 $\textcolor{red}{r}$ $\textcolor{red}{+}$ $\textcolor{red}{1}$ 阶子式 全 为 零
$0$
$n$
构成矩阵子式的元素 可 以 不 相 邻 ，例如，对于矩阵 $\textcolor{orange}{\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}}$ 而言，$\textcolor{yellow}{\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 5 & 6 \end{vmatrix}}$ 和 $\textcolor{cyan}{\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 4 & 6 \end{vmatrix}}$ 均 是 其子式。
矩阵的子式 一 定 是一个 行 数与 列 数 相 等 的行列式
$\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 4 & 5 \end{vmatrix}$
$\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{A})}$ $\textcolor{red}{=}$ $\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{B})}$
等 价 矩阵 一 定 是 同 型 矩阵
行 数 和 列 数 都 对 应 相 等 的矩阵就是 同 型 矩 阵
$\boldsymbol{\textcolor{orange}{P}}$ 和 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{Q}}$ 均 可 逆
