线性代数基础归档 - 第11页共20页

第一种初等矩阵的表示方法（C011）

问题

将单位矩阵

E

第

i

行元素

r_{i}

与第

j

行元素

r_{j}

做一次交换或者将单位矩阵

E

第

i

列元素

c_{i}

与第

j

列元素

c_{j}

做一次交换，所得的矩阵被称为第一种初等矩阵。
根据惯例，以下对第一种初等矩阵的符号表示中，正确的是哪个？

选项

[A].

E_{j}

[B].

E_{i}

[C].

E_{i j}

[D].

E_{i j} (k)

答案

$E$ 作变换 $r_{i}$ $\leftrightarrow$ $r_{j}$ （或 $c_{i}$ $\leftrightarrow$ $c_{j}$ ），得初等矩阵 $E_{i j}$

什么是初等矩阵？（C011）

问题

已知，

E

为单位矩阵，则以下关于初等矩阵的说法中，正确的是哪个？

选项

[A].

E

经过两次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

[B].

E

经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

[C].

E

经过任意次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

[D].

E

经过一次初等行变换和一次初等列变换得到的矩阵称为初等矩阵

答案

$E$ 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

初等行变换和初等列变换（C011）

问题

根据矩阵初等变换的定义，以下说法中正确的是哪个？

选项

[A]. 只有初等列变换是初等变换

[B]. 只有初等行变换是初等变换

[C]. 初等行变换和初等列变换都是初等变换

[D]. 同时进行初等行变换和初等列变换才是初等变换

答案

初等行变换和初等列变换都是初等变换

矩阵的第三种初等变换（C011）

问题

根据矩阵初等变换的定义，把矩阵中某一行或列的所有元素的常数

k

倍加到该矩阵的另一行或列上，是否是一种初等变换？

选项

[A]. 是

[B]. 不是

答案

是

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矩阵的第二种初等变换（C011）

问题

根据矩阵初等变换的定义，用非零常数

k

乘以矩阵中某一行或者某一列的所有元素，是否是一种初等变换？

选项

[A]. 不是

[B]. 是

答案

是

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矩阵的第一种初等变换（C011）

问题

根据矩阵初等变换的定义，对调矩阵的两行或者两列，是否是一种初等变换？

选项

[A]. 是

[B]. 不是

答案

是

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分块矩阵求逆法：下三角形式（C010）

问题

已知，

A

B

和

C

是元素非全为零的方阵，

O

是元素全为零的方阵
则，根据可逆矩阵的性质，

{(\begin{array}{ll} A & O \\ C & B \end{array})}^{- 1}

=

?

选项

[A].

{(\begin{array}{ll} A & O \\ C & B \end{array})}^{- 1}

=

(\begin{array}{ll} A^{- 1} & O \\ - B C^{- 1} A & B^{- 1} \end{array})

[B].

{(\begin{array}{ll} A & O \\ C & B \end{array})}^{- 1}

=

(\begin{array}{ll} A^{- 1} & O \\ B^{- 1} C A^{- 1} & B^{- 1} \end{array})

[C].

{(\begin{array}{ll} A & O \\ C & B \end{array})}^{- 1}

=

(\begin{array}{ll} A^{- 1} & O \\ - A^{- 1} C B^{- 1} & B^{- 1} \end{array})

[D].

{(\begin{array}{ll} A & O \\ C & B \end{array})}^{- 1}

=

(\begin{array}{ll} A^{- 1} & O \\ - B^{- 1} C A^{- 1} & B^{- 1} \end{array})

答案

${(\begin{array}{ll} A & O \\ C & B \end{array})}^{- 1}$ $=$ $(\begin{array}{ll} A^{- 1} & O \\ - B^{- 1} C A^{- 1} & B^{- 1} \end{array})$

分块矩阵求逆法：上三角形式（C010）

问题

已知，

A

B

和

C

是元素非全为零的方阵，

O

是元素全为零的方阵
则，根据可逆矩阵的性质，

{(\begin{array}{ll} A & C \\ O & B \end{array})}^{- 1}

=

?

选项

[A].

{(\begin{array}{ll} A & C \\ O & B \end{array})}^{- 1}

=

(\begin{array}{ll} A^{- 1} & A^{- 1} C B^{- 1} \\ O & B^{- 1} \end{array})

[B].

{(\begin{array}{ll} A & C \\ O & B \end{array})}^{- 1}

=

(\begin{array}{ll} A & - A^{- 1} C B^{- 1} \\ O & B \end{array})

[C].

{(\begin{array}{ll} A & C \\ O & B \end{array})}^{- 1}

=

(\begin{array}{ll} A^{- 1} & - A^{- 1} C B^{- 1} \\ O & B^{- 1} \end{array})

[D].

{(\begin{array}{ll} A & C \\ O & B \end{array})}^{- 1}

=

(\begin{array}{ll} A^{- 1} & - A C^{- 1} B \\ O & B^{- 1} \end{array})

答案

${(\begin{array}{ll} A & C \\ O & B \end{array})}^{- 1}$ $=$ $(\begin{array}{ll} A^{- 1} & - A^{- 1} C B^{- 1} \\ O & B^{- 1} \end{array})$

分块矩阵求逆法：副对角线形式（C010）

问题

已知，

A

和

B

是元素非全为零的方阵，

O

是元素全为零的方阵
则，根据可逆矩阵的性质，

{(\begin{array}{ll} O & A \\ B & O \end{array})}^{- 1}

=

?

选项

[A].

{(\begin{array}{ll} O & A \\ B & O \end{array})}^{- 1}

=

(\begin{array}{cc} O & B^{⊤} \\ A^{⊤} & O \end{array})

[B].

{(\begin{array}{ll} O & A \\ B & O \end{array})}^{- 1}

=

(\begin{array}{cc} O & B^{- 1} \\ A^{- 1} & O \end{array})

[C].

{(\begin{array}{ll} O & A \\ B & O \end{array})}^{- 1}

=

(\begin{array}{cc} B^{- 1} & O \\ O & A^{- 1} \end{array})

[D].

{(\begin{array}{ll} O & A \\ B & O \end{array})}^{- 1}

=

(\begin{array}{cc} O & A^{- 1} \\ B^{- 1} & O \end{array})

答案

${(\begin{array}{ll} O & A \\ B & O \end{array})}^{- 1}$ $=$ $(\begin{array}{cc} O & B^{- 1} \\ A^{- 1} & O \end{array})$

分块矩阵求逆法：主对角线形式（C010）

问题

已知，

A

和

B

是元素非全为零的方阵，

O

是元素全为零的方阵
则，根据可逆矩阵的性质，

{(\begin{array}{ll} A & O \\ O & B \end{array})}^{- 1}

=

?

选项

[A].

{(\begin{array}{ll} A & O \\ O & B \end{array})}^{- 1}

=

(\begin{array}{ll} O & A^{- 1} \\ B^{- 1} & O \end{array})

[B].

{(\begin{array}{ll} A & O \\ O & B \end{array})}^{- 1}

=

(\begin{array}{ll} B^{- 1} & O \\ O & A^{- 1} \end{array})

[C].

{(\begin{array}{ll} A & O \\ O & B \end{array})}^{- 1}

=

(\begin{array}{ll} - A & O \\ O & - B \end{array})

[D].

{(\begin{array}{ll} A & O \\ O & B \end{array})}^{- 1}

=

(\begin{array}{ll} A^{- 1} & O \\ O & B^{- 1} \end{array})

答案

${(\begin{array}{ll} A & O \\ O & B \end{array})}^{- 1}$ $=$ $(\begin{array}{ll} A^{- 1} & O \\ O & B^{- 1} \end{array})$

用初等变换法求逆矩阵（C010）

问题

已知，

E

为单位矩阵，则根据可逆矩阵的性质，以下利用初等变换法求逆矩阵的方法表述中，正确的是哪个？

选项

[A].

(\begin{array}{ll} A & E \end{array})

\overset{初等行变换}{⟶}

(\begin{array}{ll} A^{- 1} & E \end{array})

[B].

(\begin{array}{ll} A & E \end{array})

\overset{初等行变换}{⟶}

(\begin{array}{ll} E & - A^{- 1} \end{array})

[C].

(\begin{array}{ll} A & E \end{array})

\overset{初等列变换}{⟶}

(\begin{array}{ll} E & A^{- 1} \end{array})

[D].

(\begin{array}{ll} A & E \end{array})

\overset{初等行变换}{⟶}

(\begin{array}{ll} E & A^{- 1} \end{array})

答案

$(\begin{array}{ll} A & E \end{array})$ $\overset{初等 [行] 变换}{⟶}$ $(\begin{array}{ll} E & A^{- 1} \end{array})$

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用伴随矩阵法求逆矩阵（C010）

问题

已知

A^{*}

为矩阵

A

的伴随矩阵，则根据可逆矩阵的性质，

A^{- 1}

=

?

选项

[A].

A^{- 1}

=

| A |

A^{*}

[B].

A^{- 1}

=

\frac{1}{| A^{*} |}

A

[C].

A^{- 1}

=

\frac{1}{| A |}

A^{*}

[D].

A^{- 1}

=

\frac{- 1}{| A |}

A^{*}

答案

$A^{- 1}$ $=$ $\frac{1}{| A |}$ $A^{*}$

用定义法求逆矩阵（C010）

问题

已知，

E

为单位矩阵，则根据可逆矩阵的性质，若

A B

=

E

, 则矩阵

A

的逆矩阵

A^{- 1}

=

?

选项

[A].

A^{- 1}

=

B B^{- 1}

[B].

A^{- 1}

=

- B

[C].

A^{- 1}

=

B^{- 1}

[D].

A^{- 1}

=

B

答案

$A^{- 1}$ $=$ $B$

$(A + B)^{- 1}$ 是否等于 $A^{- 1}$ $+$ $B^{- 1}$ ？（C010）

问题

根据可逆矩阵的性质，一般情况下，

(A + B)^{- 1}

是否等于

A^{- 1}

+

B^{- 1}

?

选项

[A].

(A + B)^{- 1}

=

A^{- 1}

+

B^{- 1}

[B].

(A + B)^{- 1}

\neq

A^{- 1}

+

B^{- 1}

答案

$(A + B)^{- 1}$ $\neq$ $A^{- 1}$ $+$ $B^{- 1}$

$| A^{- 1} |$ 等于什么？（C010）

问题

根据可逆矩阵的性质，

| A^{- 1} |

=

?

选项

[A].

| A^{- 1} |

=

| A |

[B].

| A^{- 1} |

=

\frac{- 1}{| A |}

[C].

| A^{- 1} |

=

\frac{1}{| A |}

[D].

| A^{- 1} |

=

\frac{1}{| A^{- 1} |}

答案

$| A^{- 1} |$ $=$ $\frac{1}{| A |}$