问题
根据 矩 阵 初 等 变 换 的 定 义 ，以下说法中正确的是哪个？选项
[A]. 同时进行初等行变换和初等列变换才是初等变换[B]. 只有初等列变换是初等变换
[C]. 只有初等行变换是初等变换
[D]. 初等行变换和初等列变换都是初等变换
初等 行 变换和初等 列 变换 都 是 初等变换
初等行变换和初等列变换（C011）
[B]. 只有初等列变换是初等变换
[C]. 只有初等行变换是初等变换
[D]. 初等行变换和初等列变换都是初等变换
标签： 线性代数基础
[B]. 只有初等列变换是初等变换
[C]. 只有初等行变换是初等变换
[D]. 初等行变换和初等列变换都是初等变换
矩阵的第三种初等变换（C011）
问题
根据矩阵初等变换的定义， 把 矩 阵 中 某 一 行 或 列 的 所 有 元 素 的 常 数 $k$ 倍 加 到 该 矩 阵 的 另 一 行 或 列 上 ，是否是一种初等变换？选项
[A]. 是[B]. 不是
是
矩阵的第二种初等变换（C011）
问题
根据矩阵初等变换的定义， 用 非 零 常 数 $k$ 乘 以 矩 阵 中 某 一 行 或 者 某 一 列 的 所 有 元 素 ，是否是一种初等变换？选项
[A]. 不是[B]. 是
是
矩阵的第一种初等变换（C011）
分块矩阵求逆法：下三角形式（C010）
问题
已知，$\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$, $\boldsymbol{\textcolor{orange}{B}}$ 和 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{C}}$ 是元素 非 全 为 零 的方阵，$\boldsymbol{\textcolor{orange}{O}}$ 是元素 全 为 零 的方阵则，根据可逆矩阵的性质，$\textcolor{orange}{\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{?}$
选项
[A]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \\ -\boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{C} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{array}\right)$[B]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \\ -\boldsymbol{B} \boldsymbol{C}^{-1} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{array}\right)$
[C]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{C} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{array}\right)$
[D]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \\ -\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{C} \boldsymbol{B}^{-1} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{\textcolor{yellow}{C}} & \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}} \end{array}\right)^{\textcolor{red}{-1}}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}^{\textcolor{red}{-1}} & \boldsymbol{O} \\ \textcolor{red}{-}\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}^{\textcolor{red}{-1}} \boldsymbol{\textcolor{yellow}{C}} \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}^{\textcolor{red}{-1}} & \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}^{\textcolor{red}{-1}} \end{array}\right)$
分块矩阵求逆法：上三角形式（C010）
问题
已知，$\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$, $\boldsymbol{\textcolor{orange}{B}}$ 和 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{C}}$ 是元素 非 全 为 零 的方阵，$\boldsymbol{\textcolor{orange}{O}}$ 是元素 全 为 零 的方阵则，根据可逆矩阵的性质，$\textcolor{orange}{\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{?}$
选项
[A]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{C} \boldsymbol{B}^{-1} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{array}\right)$[B]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & -\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{C} \boldsymbol{B}^{-1} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)$
[C]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A}^{-1} & -\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{C} \boldsymbol{B}^{-1} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{array}\right)$
[D]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A}^{-1} & -\boldsymbol{A} \boldsymbol{C}^{-1} \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}} & \boldsymbol{\textcolor{yellow}{C}} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}} \end{array}\right)^{\textcolor{red}{-1}}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}^{-1} & \textcolor{red}{-}\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}^{\textcolor{red}{-1}} \boldsymbol{\textcolor{yellow}{C}} \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}^{\textcolor{red}{-1}} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}^{-1} \end{array}\right)$
分块矩阵求逆法：副对角线形式（C010）
问题
已知，$\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 和 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{B}}$ 是元素 非 全 为 零 的方阵，$\boldsymbol{\textcolor{orange}{O}}$ 是元素 全 为 零 的方阵则，根据可逆矩阵的性质，$\textcolor{orange}{\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{array}\right)^{-1}}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{?}$
选项
[A]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A^{-1}} \\ \boldsymbol{B^{-1}} & \boldsymbol{O} \end{array}\right)$[B]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{\top} \\ \boldsymbol{A}^{\top} & \boldsymbol{O} \end{array}\right)$
[C]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \\ \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \end{array}\right)$
[D]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{B}^{-1} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A}^{-1} \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}} \\ \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}} & \boldsymbol{O} \end{array}\right)^{\textcolor{red}{-1}}$ $=$ $\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}^{\textcolor{red}{-1}} \\ \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}^{\textcolor{red}{-1}} & \boldsymbol{O} \end{array}\right)$
分块矩阵求逆法：主对角线形式（C010）
问题
已知，$\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 和 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{B}}$ 是元素 非 全 为 零 的方阵，$\boldsymbol{\textcolor{orange}{O}}$ 是元素 全 为 零 的方阵则，根据可逆矩阵的性质，$\textcolor{orange}{\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right)^{-1}}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{?}$
选项
[A]. $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1}\end{array}\right)$[B]. $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A}^{-1} \\ \boldsymbol{B}^{-1} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$
[C]. $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{B}^{-1} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A}^{-1}\end{array}\right)$
[D]. $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll}-\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & -\boldsymbol{B}\end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}\end{array}\right)^{\textcolor{red}{-1}}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}^{\textcolor{red}{-1}} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}^{\textcolor{red}{-1}}\end{array}\right)$
用初等变换法求逆矩阵（C010）
问题
已知，$\boldsymbol{E}$ 为单位矩阵，则根据可逆矩阵的性质，以下利用 初 等 变 换 法 求逆矩阵的方法表述中，正确的是哪个？选项
[A]. $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{E}\end{array}\right)$ $\stackrel{\text {初等行变换}}{\longrightarrow}$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{E}\end{array}\right)$[B]. $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{E}\end{array}\right)$ $\stackrel{\text {初等行变换}}{\longrightarrow}$ $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{E} & – \boldsymbol{A}^{-1}\end{array}\right)$
[C]. $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{E}\end{array}\right)$ $\stackrel{\text {初等列变换}}{\longrightarrow}$ $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{E} & \boldsymbol{A}^{-1}\end{array}\right)$
[D]. $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{E}\end{array}\right)$ $\stackrel{\text {初等行变换}}{\longrightarrow}$ $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{E} & \boldsymbol{A}^{-1}\end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}} & \boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}\end{array}\right)$ $\stackrel{\text {初等 [行] 变换}}{\longrightarrow}$ $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}} & \textcolor{yellow}{\boldsymbol{A}^{-1}}\end{array}\right)$
用伴随矩阵法求逆矩阵（C010）
问题
已知 $\boldsymbol{A}^{*}$ 为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，则根据可逆矩阵的性质，$\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}^{-1}}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{?}$选项
[A]. $\boldsymbol{A}^{-1}$ $=$ $\frac{-1}{|\boldsymbol{A}|}$ $\boldsymbol{A}^{*}$[B]. $\boldsymbol{A}^{-1}$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$ $\boldsymbol{A}^{*}$
[C]. $\boldsymbol{A}^{-1}$ $=$ $\frac{1}{|\boldsymbol{A}^{*}|}$ $\boldsymbol{A}$
[D]. $\boldsymbol{A}^{-1}$ $=$ $\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}$ $\boldsymbol{A}^{*}$
$\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}^{-1}}$ $=$ $\frac{\textcolor{cyan}{1}}{\textcolor{green}{|\boldsymbol{A}|}}$ $\textcolor{red}{\boldsymbol{A}^{*}}$
用定义法求逆矩阵（C010）
问题
已知，$\boldsymbol{E}$ 为单位矩阵，则根据可逆矩阵的性质，若 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{A B}}$ $\textcolor{cyan}{=}$ $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{E}}$, 则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}^{-1}}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{?}$选项
[A]. $\boldsymbol{A}^{-1}$ $=$ $\boldsymbol{B B^{-1}}$[B]. $\boldsymbol{A}^{-1}$ $=$ $- \boldsymbol{B}$
[C]. $\boldsymbol{A}^{-1}$ $=$ $\boldsymbol{B^{-1}}$
[D]. $\boldsymbol{A}^{-1}$ $=$ $\boldsymbol{B}$
$\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}^{-1}}$ $=$ $\textcolor{red}{\boldsymbol{B}}$
$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}$ 是否等于 $\boldsymbol{A}^{-1}$ $+$ $\boldsymbol{B}^{-1}$ ？（C010）
问题
根据可逆矩阵的性质，一般情况下，$\textcolor{orange}{(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}}$ 是 否 等 于 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}^{-1}}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{B}^{-1}}$ $?$选项
[A]. $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{-1}$ $+$ $\boldsymbol{B}^{-1}$[B]. $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}$ $\neq$ $\boldsymbol{A}^{-1}$ $+$ $\boldsymbol{B}^{-1}$
$(\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}+\boldsymbol{\textcolor{orange}{B}})^{\textcolor{cyan}{-1}}$ $\textcolor{red}{\neq}$ $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}^{\textcolor{cyan}{-1}}$ $+$ $\boldsymbol{\textcolor{orange}{B}}^{\textcolor{cyan}{-1}}$
$\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|$ 等于什么？（C010）
问题
根据可逆矩阵的性质，$\textcolor{orange}{\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{?}$选项
[A]. $\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|$ $=$ $\frac{1}{|\boldsymbol{A^{-1}}|}$[B]. $\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$
[C]. $\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|$ $=$ $\frac{-1}{|\boldsymbol{A}|}$
[D]. $\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|$ $=$ $\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}$
$\left|\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}^{\textcolor{cyan}{-1}}\right|$ $=$ $\frac{\textcolor{red}{1}}{|\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}|}$
$\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}\right)^{-1}$ 等于什么？（C010）
问题
根据可逆矩阵的性质，$\textcolor{orange}{\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}\right)^{-1}}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{?}$选项
[A]. $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{\mathrm{-1}}$[B]. $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{\mathrm{\top}}$
[C]. $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}\right)^{\mathrm{\top}}$
[D]. $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{\top}\right)^{\mathrm{\top}}$
$\left(\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}^{\mathrm{\textcolor{cyan}{\top}}}\right)^{\textcolor{red}{-1}}$ $=$ $\left(\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}^{\textcolor{red}{-1}}\right)^{\mathrm{\textcolor{cyan}{\top}}}$
若 $\boldsymbol{A}$, 则 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 是否可逆（C010）
问题
根据可逆矩阵的性质，若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的转置矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}}$ 是 否 可逆？选项
[A]. 否[B]. 是
是
若 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 可逆，则 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}^{\mathrm{\textcolor{cyan}{T}}}$ 也 可 逆