$\boldsymbol{A}^{-1}$ 与 $(k \boldsymbol{A})^{-1}$ 的关系(C010)

问题

已知 $k$ 为常数,且 $k$ $\neq$ $0$, 则根据可逆矩阵的性质,$\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}^{-1}}$ 与 $\textcolor{orange}{(k \boldsymbol{A})^{-1}}$ 之间有着怎样的关系?

选项

[A].   $(k \boldsymbol{A})^{-1}$ $=$ $\frac{1}{k}$ $\boldsymbol{A}^{-1}$

[B].   $(k \boldsymbol{A})^{-1}$ $=$ $\frac{-1}{k}$ $\boldsymbol{A}^{-1}$

[C].   $(k \boldsymbol{A})^{-1}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{-1}$

[D].   $(k \boldsymbol{A})^{-1}$ $=$ $k$ $\boldsymbol{A}^{-1}$


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$(\textcolor{orange}{k} \boldsymbol{\textcolor{cyan}{A}})^{\textcolor{red}{-1}}$ $=$ $\textcolor{orange}{\frac{1}{k}}$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{A}}^{\textcolor{red}{-1}}$

若 $\boldsymbol{A}$ 可逆,则 $k \boldsymbol{A}$ 是否可逆?(C010)

问题

已知 $k$ 为常数且 $k$ $\neq$ $0$, 则根据可逆矩阵的性质,若 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ 可逆,则 $\textcolor{orange}{k \boldsymbol{A}}$ 是否可逆?

选项

[A].   

[B].   


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若 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ 可逆,则 $\textcolor{orange}{k \boldsymbol{A}}$ 也可逆

$\boldsymbol{A}^{-1}$ 和 $\boldsymbol{A}$ 的关系(C010)

问题

根据可逆矩阵的性质,$\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}^{-1}}$ 和 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ 之间存在怎样的关系?

选项

[A].   $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{-1}$ $=$ $- \boldsymbol{A}$

[B].   $\boldsymbol{A}^{-1}$ $=$ $\boldsymbol{A}$

[C].   $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{-1}$ $\neq$ $\boldsymbol{A}$

[D].   $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{-1}$ $=$ $\boldsymbol{A}$


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$\left(\boldsymbol{\textcolor{yellow}{A}}^{\textcolor{orange}{-1}}\right)^{\textcolor{cyan}{-1}}$ $\textcolor{red}{=}$ $\boldsymbol{\textcolor{yellow}{A}}$

若 $\boldsymbol{A}$ 可逆,则 $\boldsymbol{A^{-1}}$ 是否可逆?(C010)

问题

根据可逆矩阵的性质,若 $\boldsymbol{A}$ 可逆,则 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A^{-1}}}$ 是否 可逆?

选项

[A].   

[B].   


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若 $\boldsymbol{A}$ 可逆,则 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵 $\boldsymbol{A^{-1}}$ 也可逆

$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆的充要条件:$\boldsymbol{A}$ 的特征值(C010)

问题

已知,$\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵,则当 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ 的特征值满足如下哪个条件时,可以判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆

选项

[A].   $\boldsymbol{A}$ 的特征值中不含有数字 $0$

[B].   $\boldsymbol{A}$ 的特征值中含有数字 $1$

[C].   $\boldsymbol{A}$ 的特征值中含有数字 $0$

[D].   $\boldsymbol{A}$ 的特征值全为负数


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$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆 $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A}$ 的特征值中含有数字 $0$

$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆的充要条件:$\boldsymbol{A}$ 的向量组(C010)

问题

已知,$\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵,则当 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ 的向量组满足如下哪个条件时,可以判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆

选项

[A].   $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性相关,行向量线性无关

[B].   $\boldsymbol{A}$ 的列(行)向量组线性无关

[C].   $\boldsymbol{A}$ 的列(行)向量组线性相关

[D].   $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性无关,行向量线性相关


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$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆 $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A}$ 的列(行)向量组线性相关

$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆的充要条件:$\boldsymbol{A x}$ $=$ $\mathbf{0}$(C010)

问题

已知,$\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵,则当 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A x}}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{\mathbf{0}}$ 满足如下哪个条件时,可以判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆

选项

[A].   $\boldsymbol{A x}$ $=$ $\mathbf{0}$ 无解

[B].   $\boldsymbol{A x}$ $=$ $\mathbf{0}$ 只有零解

[C].   $\boldsymbol{A x}$ $=$ $\mathbf{0}$ 有零解

[D].   $\boldsymbol{A x}$ $=$ $\mathbf{0}$ 有非零解


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$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆 $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A x}$ $=$ $\mathbf{0}$ 有非零解

$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆的充要条件:$r(\boldsymbol{A})$(C010)

问题

已知,$\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵,则当 $\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{A})}$ 满足如下哪个条件时,可以判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆

选项

[A].   $r(\boldsymbol{A})$ $>$ $1$

[B].   $r(\boldsymbol{A})$ $>$ $n$

[C].   $r(\boldsymbol{A})$ $<$ $n$

[D].   $r(\boldsymbol{A})$ $\leqslant$ $n$


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$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆 $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $r(\boldsymbol{A})$ $<$ $n$

$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆的充要条件:$|\boldsymbol{A}|$(C010)

问题

已知,$\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶方阵,则当 $\textcolor{orange}{|\boldsymbol{A}|}$ 满足如下哪个条件时,可以判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆

选项

[A].   $|\boldsymbol{A}|$ $\neq$ $1$

[B].   $|\boldsymbol{A}|$ $=$ $1$

[C].   $|\boldsymbol{A}|$ $\neq$ $0$

[D].   $|\boldsymbol{A}|$ $=$ $0$


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$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆 $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $|\boldsymbol{A}|$ $=$ $0$

$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆的充要条件:$\boldsymbol{A}$ 的特征值(C010)

问题

已知,$\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵,则当 $\boldsymbol{A}$ 的特征值 满足如下哪个条件时,可以判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆?

选项

[A].   $\boldsymbol{A}$ 的特征值不都为 $0$

[B].   $\boldsymbol{A}$ 的特征值都不为 $0$

[C].   $\boldsymbol{A}$ 的特征值不都为负数

[D].   $\boldsymbol{A}$ 的特征值都为正数


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$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆 $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A}$ 的特征值都不为 $0$

$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆的充要条件:$\boldsymbol{A}$ 的向量组(C010)

问题

已知,$\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 方阵,则当 $\boldsymbol{A}$ 的列(行)向量组线性无关 时,是否可以判断出矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆

选项

[A].   

[B].   


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$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆 $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A}$ 的列(行)向量组线性无关

$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆的充要条件:$\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{x}$ $=$ $\boldsymbol{b}$(C010)

问题

已知,$\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵,$b$ 为常数,则当 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{x}}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{b}}$ 满足如下哪个条件时,可以判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆

选项

[A].   $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{x}$ $=$ $\boldsymbol{b}$ 只有零解

[B].   $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{x}$ $=$ $\boldsymbol{b}$ 无解

[C].   $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{x}$ $=$ $\boldsymbol{b}$ 有两个不同的解

[D].   $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{x}$ $=$ $\boldsymbol{b}$ 有唯一解


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$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆 $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{x}$ $=$ $\boldsymbol{b}$ 有唯一解

$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆的充要条件:$\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{x}$ $=$ $0$(C010)

问题

已知,$\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵,则当 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{x}}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{0}$ 满足如下哪个条件时,可以判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆

选项

[A].   $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{x}$ $=$ $\mathbf{0}$ 无实数解

[B].   $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{x}$ $=$ $\mathbf{0}$ 只有非零解

[C].   $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{x}$ $=$ $\mathbf{0}$ 有非零解

[D].   $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{x}$ $=$ $\mathbf{0}$ 只有零解


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$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆 $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{x}$ $=$ $\mathbf{0}$ 只有零解

$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆的充要条件:$\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{E}$(C010)

问题

已知,$\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵,$\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵,则当 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{E}$ 之间 满足如下什么关系时,可以判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆

选项

[A].   $|\boldsymbol{A}|$ $\neq$ $|\boldsymbol{E}|$

[B].   $\boldsymbol{A^{*}}$ 与 $\boldsymbol{E}$ 等价

[C].   $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{E}$ 不等价

[D].   $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{E}$ 等价


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$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆 $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{E}$ 等价

$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆的充要条件:$\boldsymbol{A}$ 与初等矩阵(C010)

问题

已知,$\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵,如果 $\boldsymbol{A}$ 可以表示为若干初等矩阵的乘积是否 可以据此判断出矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆

选项

[A].   需要看情况

[B].   不可以

[C].   可以


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可以。
$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆 $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A}$ 可以表示为若干初等矩阵的乘积