已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right]$, $\boldsymbol{P}_{1}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right]$, $\boldsymbol{P}_{2}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{P}_{2} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}_{1}=?$
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继续阅读““左行右列”原则怎么用？看这道题就行了”以下哪个是初等矩阵：
$$
\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]
$$
$$
\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]
$$
$$
\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]
$$
$$
\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & \sqrt{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]
$$
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继续阅读“识别什么是初等矩阵”下面哪个矩阵是行最简矩阵：
$$
\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]
$$
$$
\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]
$$
$$
\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]
$$
$$
\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]
$$
设 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & 2\end{array}\right]$ 经初等行变换化成阶梯形矩阵 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & -1\end{array}\right]$, 初等变换 过程如下:
$\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}
2 & 2 & 1 \\
1 & -2 & 2
\end{array}\right]$ $\rightarrow$ $\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 2 \\
2 & 2 & 1
\end{array}\right]$ $\rightarrow$ $\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 2 \\
0 & 6 & -3
\end{array}\right]$ $\rightarrow$ $\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 2 \\
0 & 2 & -1
\end{array}\right]$ $=$ $\boldsymbol{B}$.
因此，若有可逆阵 $P$, 使得 $P A=B$, 其中 $P=?$
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继续阅读“你能用一个初等矩阵表示一个初等行变换的过程吗？”已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4\end{array}\right]$, 则秩 $r\left(\boldsymbol{A}^{2}-2 \boldsymbol{A}\right)=?$
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继续阅读“狭义木桶短板效应：一个满秩的矩阵和一个不满秩的矩阵相乘所得矩阵的秩取决于不满秩的矩阵的秩”
我们知道：
$n$ 阶矩阵 $A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $|A| \neq 0$
但你知道为什么会有上面这个关系吗？
继续阅读“为什么可逆矩阵对应的行列式的值一定不为零？”$$
\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]^{99}\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]^{100}=?
$$
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继续阅读“这个“需要”199次矩阵乘法运算的题目你会做吗？”已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & a & -1 \\ 2 & -1 & a \\ 1 & 10 & -6\end{array}\right]$ 的秩为 $2$ , 则 $a=?$
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继续阅读“三阶矩阵秩为 2：那就有多种方式可以解题了”已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{A}^{5} = ?$
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继续阅读“求这个矩阵的 5 次方？可不能真的直接乘 5 次哦”你是否遇到过求解一个矩阵 $3$ 次幂、$5$ 次幂或者更高次幂的情况——在这种情况下，我们肯定不能直接求解，首先应该观察该矩阵的特征，并利用一些公式进行计算。
下面就是求解矩阵多次幂的时候可能会用到的一些公式。
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继续阅读“矩阵 n 次幂的三大计算公式”已知 $\boldsymbol{\alpha}=(2,3,-1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\beta}=(1,0,0)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}+\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{\top}}$, 则 $(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E})^{-1}=?$
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继续阅读“这个矩阵求逆的题目直接求解很快，间接求解也可能很“快””已知 $\boldsymbol{A}^{3}=\boldsymbol{O}$, 则 $\left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{2}\right)^{-1}=?$
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继续阅读“求抽象矩阵逆矩阵的方法之一：往已知条件上凑”