三阶矩阵秩为 2：那就有多种方式可以解题了

一、题目

已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & a & -1 \\ 2 & -1 & a \\ 1 & 10 & -6\end{array}\right]$ 的秩为 $2$ , 则 $a=?$

难度评级：

二、解析

方法 1

由题可知：

$$
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & a & -1 \\ 2 & -1 & a \\ 1 & 10 & -6\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
\left[\begin{array}{ccc}1 & a & -1 \\ 0 & -1-2 a & a+2 \\ 0 & 10-a & -5\end{array}\right].
$$

又：

$$
r(A)=2 \Rightarrow
$$

Tips：

下面的式子用了一个定理：如果矩阵的两行或者两列成比例，那么就可以消掉其中一行。

$$
\frac{-1-2 a}{10-a}=\frac{a+2}{-5} \Rightarrow
$$

$$
\frac{1+2 a}{10-a}=\frac{a+2}{5} \Rightarrow
$$

$$
5+10 a=(a+2)(10-a) \Rightarrow
$$

$$
a^{2}+2 a-15=0 \Rightarrow
$$

$$
a=\frac{-2 \pm \sqrt{4+60}}{2} \Rightarrow
$$

$$
a=3, a=-5
$$

经验证，当 $a=3$ 时，矩阵 $A$ 的秩为 $2$（这里进行验证主要是防止出现矩阵的秩是 $1$ 或者 $0$ 的情况）：

$$
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & a & -1 \\ 2 & -1 & a \\ 1 & 10 & -6\end{array}\right] \Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & 1 \\ 0 & -7 & 5 \\ 0 & 7 & -5\end{array}\right]
$$

同时，当 $a=-5$ 时，矩阵 $A$ 的秩也为 $2$:

$$
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & a & -1 \\ 2 & -1 & a \\ 1 & 10 & -6\end{array}\right] \Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}1 & -5 & -1 \\ 0 & 9 & -3 \\ 0 & 15 & -5\end{array}\right]
$$

综上可知，若 $r(A) = 2$, 则 $a = 3$ 或者 $a = -5$.

方法 2

求解出 $a$ 的取值的关键就是得到 $a^{2}+2 a-15=0$ 这个式子，为此，我们还可以使用如下方法：

$$
r(A) = 2 \Rightarrow
$$

$$
2 < 3 \Rightarrow
$$

$$
|A| = 0 \Rightarrow
$$

$$
\begin{vmatrix}
1 & a & -1 \\ 2 & -1 & a \\ 1 & 10 & -6
\end{vmatrix} = 0 \Rightarrow
$$

$$
6 + a^{2} – 20 – 1 + 12 a – 10a = 0 \Rightarrow
$$

$$
a^{a} + 2a – 15 = 0.
$$

之后的步骤参照本文的方法 1 中所给的步骤求解即可。

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