求抽象矩阵逆矩阵的方法之一：往已知条件上凑

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}^{3}=\boldsymbol{O}$, 则 $\left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{2}\right)^{-1}=?$

难度评级：

二、解析

题目已知的结论是关于 $A^{3}$ 的，因此，我们需要尝试构造出 $A^{3}$.

首先，根据定义可知：

$$
\square\left(E+A+A^{2}\right)=E \Rightarrow
$$

$$
\square=\left(E+A+A^{2}\right)^{-1}
$$

又：

$$
A\left(E+A+A^{2}\right)=A E+A^{2}+A^{3}=
$$

$$
A+A^{2}+A^{3}.
$$

且：

$$
(E-A)\left(E+A+A^{2}\right)=
$$

$$
E^{2}+E A+E A^{2}-A E-A^{2}-A^{3}=
$$

$$
E+A+A^{2}-A-A^{2}-A^{3}=
$$

$$
E-A^{3} = E
$$

即：

$$
(E-A)\left(E+A+A^{2}\right)=E
$$

因此：

$$
\boldsymbol{E} – \boldsymbol{A} = \left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{2}\right)^{-1}.
$$

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