狭义木桶短板效应：一个满秩的矩阵和一个不满秩的矩阵相乘所得矩阵的秩取决于不满秩的矩阵的秩

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4\end{array}\right]$, 则秩 $r\left(\boldsymbol{A}^{2}-2 \boldsymbol{A}\right)=?$

难度评级：

二、解析

Tips:

1. 一个满秩的矩阵和一个不满秩的矩阵相乘所得矩阵的秩取决于不满秩的矩阵的秩；
2. 两个不满秩的矩阵相乘所得矩阵的秩并不一定就只取决于秩较小的矩阵。

由于 $|A| \neq 0$（即矩阵 $A$ 可逆——扩展资料：《为什么可逆矩阵对应的行列式的值一定不为零？》），又：

$$
A^{2} – 2A = A(A – 2E)
$$

于是：

$$
r(A^{2} – 2A) = r[A(A – 2E)] = r(A – 2E)
$$

接着：

$$
A – 2E = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4
\end{bmatrix}-
2\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \Rightarrow
$$

$$
A – 2E = \begin{bmatrix}
-1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 2
\end{bmatrix}
$$

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