题目 05
已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $m$ 阶矩阵, $\boldsymbol{B}$ 是 $n$ 阶矩阵,且 $|\boldsymbol{A}|=a$, $|\boldsymbol{B}|=b$, 则 $\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right| = ?$
解析 05
将 $(B \quad O)$ 的第 $1$ 行与 $(O \quad A)$ 的全部行对调 $m$ 次，再将 $(B \quad O)$ 的第 $2$ 行与 $(O \quad A)$ 的全部行对调 $m$ 次，就可以让 $(B \quad O)$ 中的行不断“上浮”，$(O \quad A)$ 中的行不断“下沉”——重复这个步骤 $n$ 次之后，我们一共执行了 $nm$ 次对调操作，此时，会得到如下行列式：
$$
\begin{vmatrix}
B & O \\
O & A
\end{vmatrix}
$$
由于每对调一次都会产生一个负号，因此，一共产生了 $(-1)^{nm}$ 负号，于是：
$$
\begin{vmatrix}
O & A \\
B & O
\end{vmatrix}
=(-1)^{nm}
\begin{vmatrix}
B & O \\
O & A
\end{vmatrix} \Rightarrow
$$
$$
\begin{vmatrix}
O & A \\
B & O
\end{vmatrix}
=(-1)^{nm}|B| \cdot |A| \Rightarrow
$$
$$
\begin{vmatrix}
O & A \\
B & O
\end{vmatrix}
=(-1)^{nm}ab.
$$