一、前言 ![前言 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/27d32864d84c052488cc5282d2051ce384fc5da0a8d27fd8250711674382591b80cf1f6df48c8b93891fe0874a5a5739d1bf2be3246a1c8cf0274958030b1195.svg)
![各种积分符号的写法与含义汇总 | 荒原之梦考研数学 | 图片由 Stephen Wolfram, LLC 拍摄,采用 MIT 协议授权。](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2024/07/26/b92bf51f31bc706ef8192f76714131951d1233539f2d4274125d86b1484a7c56330606c3afb0178637770afa8c1e030bb915f4eb2942d7a08e12d067564aea6d.webp)
在考研高等数学中,我们会接触到很多种积分符号,这些积分符号有着各自的书写方式与含义。在本文中,「荒原之梦考研数学」就汇总常见的积分符号及其含义,在文末还有一段积分符号的历史介绍给大家哦~
继续阅读“考研数学中各种积分符号的写法与含义汇总”在考研高等数学中,我们会接触到很多种积分符号,这些积分符号有着各自的书写方式与含义。在本文中,「荒原之梦考研数学」就汇总常见的积分符号及其含义,在文末还有一段积分符号的历史介绍给大家哦~
继续阅读“考研数学中各种积分符号的写法与含义汇总”已知 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 满足:
$$
\begin{cases}
\boldsymbol{A} = \frac{1}{3} (\boldsymbol{B} + \boldsymbol{E}) \\ \\
\boldsymbol{A} ^{2} = \boldsymbol{A}
\end{cases}
$$
则:
$$
\boldsymbol{B} = ?
$$
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继续阅读“借助二次方程求解未知矩阵”若用 $A$, $B$, $C$ 表示三个事件,请用 $A$, $B$, $C$ 以及概率论中的运算符号,表示下列事件:
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继续阅读“并集表示“或”,交集表示“且””设函数 $f(t)$ 连续,令 $F(x, y)$ $=$ $\int_{0}^ {x-y}(x-y-t) f(t)\mathrm {~d} t$, 则( )
A. $\frac { \partial F } { \partial x }$ $=$ $\frac { \partial F } { \partial y }$, $\frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial x ^ { 2 } }$ $=$ $\frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial y ^ { 2 } }$
B. $\frac { \partial F } { \partial x }$ $=$ $\frac { \partial F } { \partial y }$, $\frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial x ^ { 2 } }$ $=$ $- \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial y ^ { 2 } }$
C. $\frac { \partial F } { \partial x }$ $=$ $- \frac { \partial F } { \partial y }$, $\frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial x ^ { 2 } }$ $=$ $\frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial y ^ { 2 } }$
D. $\frac { \partial F } { \partial x }$ $=$ $- \frac { \partial F } { \partial y }$, $\frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial x ^ { 2 } }$ $=$ $- \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial y ^ { 2 } }$
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继续阅读“2022考研数二第04题解析:二元偏导数、变上限积分求导”设函数 $f(x)$ 在 $x$ $=$ $x_{0}$ 处有 $2$ 阶导数,则:
[A]. 当 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内单调增加时,$f^{\prime} \left( x _{ 0 } \right)$ $>$ $0$
[B]. 当 $f^{\prime} \left( x_{0} \right)$ $>$ $0$ 时,$f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内单调增加
[C]. 当 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内是凹函数时,$f^{\prime \prime} \left( x_{0} \right)$ $>$ $0$
[D]. 当 $f^{\prime \prime} \left( x_{0} \right)$ $>$ $0$, $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内是凹函数
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继续阅读“2022考研数二第03题解析:邻域内函数单调性与凹凸性的判断”$$
\int _{ 0 } ^ { 2 } \mathrm { ~ d } y \int _{ y } ^ { 2 } \frac { y } { \sqrt { 1 + x ^ { 3 } } } \mathrm{~d} x = ?
$$
A. $\frac { \sqrt { 2 } } { 6 }$
B. $\frac { 1 } { 3 }$
C. $\frac { \sqrt { 2 } } { 3 }$
D. $\frac{2}{3}$
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继续阅读“2022考研数二第02题解析:更改积分次序、定积分中的变量替换”当 $x \rightarrow 0$ 时, $\alpha ( x )$, $\beta ( x )$ 是非零无穷小量,给出以下四个命题:
① 若 $\alpha ( x )$ $\sim$ $\beta ( x )$, 则 $\alpha ^ { 2 } ( x )$ $\sim$ $\beta ^ { 2 } ( x )$;
② 若 $\alpha ^ { 2 } ( x )$ $\sim$ $\beta ^ { 2 } ( x )$, 则 $\alpha ( x )$ $\sim$ $\beta ( x )$;
③ 若 $\alpha ( x ) \sim \beta ( x )$, 则 $\alpha ( x )$ $-$ $\beta ( x )$ $=$ $o ( \alpha ( x ) )$;
④ 若 $\alpha ( x ) – \beta ( x )$ $=$ $o ( \alpha ( x ) )$, 则 $\alpha ( x )$ $\sim$ $\beta ( x )$.
其中所有真命题的序号是( )
(A) ① ③
(B) ① ④
(C) ① ③ ④
(D) ② ③ ④
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继续阅读“2022考研数二第01题解析:等价无穷小相减会产生更高阶的无穷小,反之也成立”设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足:对任意 $x _{ 1 }$, $x _{ 2 }$, $x _{ 3 }$ 均有 $\boldsymbol{A} \left( \begin{array} { c } x _{ 1 } \\ x _{ 2 } \\ x _{ 3 } \end{array} \right)$ $=$ $\left( \begin{array} { c } x _{ 1 } + x _{ 2 } + x _{ 3 } \\ 2 x _{ 1 } – x _{ 2 } + x _{ 3 } \\ x _{ 2 } – x _{ 3 } \end{array} \right)$
(1) 求 $\boldsymbol{A}$;
(2) 求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 与对角矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$, 使得 $\boldsymbol{P ^ { – 1 } A P}$ $=$ $\boldsymbol{\Lambda}$.
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继续阅读“2023年考研数二第22题解析:根据矩阵乘法凑出隐含的矩阵、矩阵的特征值和特征向量”设矩 阵 $A$ $=$ $\begin{pmatrix}0 & 1 & a \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$, $B$ $=$ $\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \\ b & 2\end{pmatrix}$, 二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ $=$ $x^{T} B A x$. 已知方程组 $A x$ $=$ $0$ 的解均是 $B^{\top} x$ $=$ $0$ 的解,但这两个方程组不同解.
(1) 求 $a$, $b$ 的值;
(2) 求正交变换 $x$ $=$ $Q y$ 将 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化为标准形.
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继续阅读“2024年考研数二第22题解析:线性方程组、正交变换”设函数 $f(x)$ 具有 2 阶导数, 且 $f^{\prime}(0)$ $=$ $f^{\prime}(1)$, $\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1$, 证明:
(1) 当 $x \in(0,1)$ 时, $|f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x|$ $\leq$ $\frac{x(1-x)}{2}$;
(2) $\left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x-\frac{f(0)+f(1)}{2}\right|$ $\leq$ $\frac{1}{12}$.
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继续阅读“2024年考研数二第21题解析:证明绝对值式子小于XX,需要“两头围堵””$f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数, 且:
$g(x, y)$ $=$ $f(2 x+y, 3 x-y)$
$\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}$ $+$ $\frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y}$ $-$ $6 \frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}$ $=$ $1$
(1) 求 $\frac{\partial^{2} f}{\partial u \partial v}$ 的值;
(2)若 $\frac{\partial f(u, 0)}{\partial u}$ $=$ $u \mathrm{e}^{-u}$, $f(0, v)$ $=$ $\frac{1}{50} v^{2}$ $-$ $1$, 求 $f(u, v)$.
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继续阅读“2024年考研数二第20题解析:多元复合函数求偏导、一重定积分的计算”设 $t>0$, 平面有界区域 $D$ 由曲线 $y = \sqrt{x} e^{-x}$ 与直线 $x=t$, $x=2 t$ 及 $x$ 轴围成, $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积为 $V(t)$, 求 $V(t)$ 的最大值.
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继续阅读“2024年考研数二第19题解析:旋转体的体积与最值”设 $y=y(x)$ 满足方程 $x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}-9 y=0$, 且 $\left.y\right|_{x=1}=2$, $\left.y^{\prime}\right|_{x=1}=6$.
(1) 利用 $x=\mathrm{e}^{t}$ 化简方程, 并求 $y(x)$ 的表达式;
(2) 求 $\int_{1}^{2} y(x) \sqrt{4-x^{2}} \mathrm{~d} x$.
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继续阅读“2024年考研数二第18题解析:微分方程的代换化简,一重积分的计算”不参与偏导运算的纯粹的自变量(不是函数)的具体数值可以在求偏导前先代入。
已知 $z=\left(x + e^{y}\right)^{x}$, 则:
$$\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,0)}=?$$
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继续阅读“复合函数求偏导:没“偏”谁就把谁先代进去”设平面有界区域 $D$ 位于第一象限, 由曲线 $x y=\frac{1}{3}$, $x y=3$ 与直线 $y=\frac{1}{3} x$, $y=3 x$ 围成, 计算 $\iint_{D}(1+x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ $=$ $?$
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继续阅读“2024年考研数二第17题解析:二重积分的化简与计算、轮换对称性”