题目 02
已知 $\boldsymbol{A}$ 为二阶矩阵, 且 $\boldsymbol{A}$ 的每行元素之和均为 $4$, 且 $|\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}|=0$, 则 $\left|2 \boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}^{2}\right| = ?$
解析 02
由《为什么当矩阵各行元素之和都等于同一个数时，这个数就是一定是特征值之一？》这篇文章可知，若 $A$ 的每行元素之和均为 $4$, 则 $A$ 一定有一个特征值为 $4$.
又由 $|\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}|=0$ 可知，矩阵 $E+A$ 一定有一个特征值为 $0$, 即：
$$
1 + (-1) = 0
$$
因此，矩阵 $A$ 一定有一个特征值为 $-1$.
又由于 $A$ 是二阶矩阵，只能有两个特征值，所有，矩阵 $A$ 的全部特征值为：
$$
4, -1
$$
于是，矩阵 $2 \boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}^{2}$ 的全部特征值为：
$$
\begin{cases}
& 2 + 4^{2} = 18; \\
& 2 + (-1)^{2} = 3
\end{cases}
$$
因此
$$
\left|2 \boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}^{2}\right| = 18 \times 3 = 54.
$$