标签： 线性代数基础

$\begin{bmatrix} 1 & 7 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

上三角矩阵定义的标准版：
$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$, 当 $i$ $>$ $j$ 时，$a_{i j}$ $=$ $0$, $($ $j$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $n$ $-$ $1$ $)$ 的矩阵称为上三角矩阵.

上三角矩阵定义的简易版：
主对角线下方（不包括主对角线）区域的元素全为零的矩阵就是上三角矩阵.

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

除了主对角线之外的区域上的元素全部为零的矩阵就是对角矩阵，形如：
$\left(\begin{array}{cccc} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ & & \ddots & \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{array}\right)$

对角矩阵一般记作：$\boldsymbol{\Lambda}$

$\begin{bmatrix} k & 0 & 0\\ 0 & k & 0\\ 0 & 0 & k \end{bmatrix}$

主对角线上的元素全为 $k$, 形如下面这个矩阵的矩阵都可以被称为数量矩阵：
$\left(\begin{array}{llll} k & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & k & \cdots & 0 \\ & & \ddots & \\ 0 & 0 & \cdots & k \end{array}\right)$

数量矩阵一般记作 $k E$.

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

主对角线上的元素全为 $1$, 形如下面这个矩阵的矩阵都可以被称为单位矩阵：
$\left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ & & \ddots & \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{array}\right)$

$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

零矩阵就是矩阵内元素都为 $0$ 的矩阵，记作：$O$

$\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)$

$\begin{bmatrix} * & * & * \\ * & * & * \\ * & * & * \end{bmatrix}$

形如下面的矩阵可以被称为 $n$ 阶方阵或者 $n$ 阶矩阵，记作 $A$ 或者 $A_{n}$：
$\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right)$

当 $D$ $\neq$ $0$ 时，该线性方程组只有零解：
$x_{1}$ $=$ $x_{2}$ $=$ $\cdots$ $=$ $x_{n}$ $=$ $0$.

$x_{1}$ $=$ $\frac{\textcolor{orange}{D_{1}}}{\textcolor{cyan}{D}}$, $x_{2}$ $=$ $\frac{\textcolor{orange}{D_{2}}}{\textcolor{cyan}{D}}$, $\cdots$, $x_{n}$ $=$ $\frac{\textcolor{orange}{D_{n}}}{\textcolor{cyan}{D}}$

$D$ $\neq$ $0$

$D$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$

$|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|$ $\neq$ $|\boldsymbol{A}|$ $+$ $|\boldsymbol{B}|$

$|\boldsymbol{A}|$ $=$ $|\boldsymbol{B}|$

$|\boldsymbol{A}|$ $=$ $\lambda_{1}$ $\times$ $\lambda_{2}$ $\times$ $\cdots$ $\times$ $\lambda_{n}$

$\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{n-1}$