标签： 线性代数基础

一、题目

⟨A⟩. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $n$, $\mathrm{r} (\boldsymbol{B})$ $=$ $n$.

⟨B⟩. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $m$, $\mathrm{r} (\boldsymbol{B})$ $=$ $n$.

⟨C⟩. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $n$, $\mathrm{r} (\boldsymbol{B})$ $=$ $m$.

⟨D⟩. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $m$, $\mathrm{r} (\boldsymbol{B})$ $=$ $m$.

二、解析

§2.1 传统解法

由 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} = \boldsymbol{E}$，可知：

$$
r(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}) = m
$$

又由《矩阵秩的性质汇总》这篇文章可知：

$$
\mathrm{r} (\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}) \leqslant \min(\mathrm{r} (\boldsymbol{A}), \mathrm{r} (\boldsymbol{B}))
$$

因此可知：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\mathrm{r} (\boldsymbol{A}) \geqslant m, \mathrm{r}(\boldsymbol{B}) \geqslant m } \tag{1}
$$

同样由《矩阵秩的性质汇总》这篇文章可知：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\mathrm{r} (\boldsymbol{A}) \leqslant m, \ \mathrm{r} (\boldsymbol{B}) \leqslant m } \tag{2}
$$

综上可知：

$$
\textcolor{springgreen}{
\mathrm{r} (\boldsymbol{A}) = m, \ \mathrm{r} (\boldsymbol{B}) = m
}
$$

综上可知，本 题 应 选 ⟨D⟩

§2.2 “峰式”画图法

本章节所用到的解法基于：《峰式图：通过构建折线形矩阵研究矩阵秩的几何形态及矩阵的秩在矩阵乘法运算中表现出的性质》

§2.2.1 当 $n \geqslant m$ 时

如果我们用绿色边框的长方形表示矩阵 $\boldsymbol{A}$, 用橙色边框的长方形表示矩阵 $\boldsymbol{B}$, 则当 $n \geqslant m$ 时，可以绘制出如图 01 所示的示意图：

对于矩阵乘法运算 $\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}$, 根据《峰式图：通过构建折线形矩阵研究矩阵秩的几何形态及矩阵的秩在矩阵乘法运算中表现出的性质》这篇文章中的“叠影”操作，我们可以得到如图 02 所示的示意图：

在上面的图 02 中，蓝色阴影区域所在的正四边形表示矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 相乘所得的单位矩阵 $\boldsymbol{E}$，其边长为 $m$.

同时，图 02 中蓝色阴影区域（边长为 $m$ 的正四边形）也完全可以放在如图 03 所示的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 对应的长方形内部，因此说明，此时矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的秩都是 $m$:

§2.2.2 当 $m \geqslant n$ 时

如果我们用绿色边框的长方形表示矩阵 $\boldsymbol{A}$, 用橙色边框的长方形表示矩阵 $\boldsymbol{B}$, 则当 $m \geqslant n$ 时，可以绘制出如图 04 所示的示意图：

对于矩阵乘法运算 $\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}$, 根据《峰式图：通过构建折线形矩阵研究矩阵秩的几何形态及矩阵的秩在矩阵乘法运算中表现出的性质》这篇文章中的“叠影”操作，我们可以得到如图 05 所示的示意图：

上面的图 05 中紫色边框的正四边形表示矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 相乘所得的单位矩阵 $\boldsymbol{E}$, 但是，从几何性质上可以直接看出，紫色边框的正四边形不可能放进蓝色边框或者橙色边框的长方形中，因此，紫色边框的正四边形不可能是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 相乘所得的单位矩阵 $\boldsymbol{E}$.

综上可知：

$$
\textcolor{springgreen}{
\begin{aligned}
& \mathrm{r} (\boldsymbol{A}) = m, \ \mathrm{r} (\boldsymbol{B}) = m \\ \\
& n \geqslant m
\end{aligned}
}
$$

综上可知，本 题 应 选 ⟨D⟩

观察上面的过程，核心就是两个长方形——所以，我们完全可以撕下来两个纸条来实现这个推导过程，是不是很直观，很方便呢？

关于 $n \geqslant m$ 的传统证明方法见下面的 $§2.3$ 章节.

§2.3 补充：关于 m 和 n 谁大的证明：

问题

已知 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 阶的矩阵，$\boldsymbol{B}$ 为 $n \times m$ 阶的矩阵，若 $\mathrm{r} (\boldsymbol{A}) = m$, $\mathrm{r} (\boldsymbol{B}) = m$, 请证明 $n \geqslant m$.

证明

对于矩阵 $\boldsymbol{A}$, 我们有：

$$
\begin{aligned}
& m = \mathrm{r}(\boldsymbol{A}) \leqslant \min(m, n) \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & m \leqslant \min (m, n) \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & m \leqslant n
\end{aligned}
$$

若 $m > n$，则 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}) \leqslant n < m$，与 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}) = m$ 矛盾.

对于矩阵 $\boldsymbol{B}$, 我们有：

$$
\begin{aligned}
& m = \mathrm{r}(\boldsymbol{B}) \leqslant \min(m, n) \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & m \leqslant \min (m, n) \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & m \leqslant n
\end{aligned}
$$

若 $m > n$，则 $\mathrm{r}(\boldsymbol{B}) \leqslant n < m$，与 $\mathrm{r}(\boldsymbol{B}) = m$ 矛盾.

综上可知：

$$
\textcolor{springgreen}{
n \geqslant m
}
$$

---

目录

一、前言
二、正文
§2.1 折线形矩阵的定义
§2.1.1 稳态矩阵
§2.1.2 折线形矩阵
§2.2 折线形矩阵中矩阵秩的确定
§2.3 折线形矩阵的矩阵乘法运算及矩阵秩的变化
§2.3.1 基于折线形矩阵拆解矩阵乘法运算并构建投射关系图
§2.3.2 基于矩阵乘法的投射关系图构建叠影关系图
§2.3.3 基于矩阵乘法的叠影关系图证明矩阵乘法中秩的变化性质
§2.4 折线形矩阵的矩阵乘法运算及一些几何性质
三、总结

一、前言

在本文中，「荒原之梦」将通过定义折线形矩阵的方式，将矩阵的秩几何化，并通过推导得到的几何化视角，在矩阵乘法运算过程中，观察矩阵秩的变化.

什么是“峰式图”：
峰式图指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰式图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.

二、正文

§2.1 折线形矩阵的定义

§2.1.1 稳态矩阵

首先，折线形矩阵是定义在稳态矩阵基础上的，所以，我们首先来定义稳态矩阵：

所谓稳态矩阵，简单地说就是：矩阵中可以被消去的行或者列都被消去了（被消去的行或者列变成了零向量），且被消去的行或者列都为通过初等变换被移动到了第一行或者最后一行，以及第一列或者最后一列.

例如，下面的矩阵就不是一个处于稳态的矩阵：

$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix} \tag{1}
$$

因为上面 $(1)$ 式中的矩阵存在可以消去的行或列，通过初等变换，我们可以将上面 $(1)$ 式中的矩阵变为一个稳态矩阵：

$$
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
\textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & 0 \\
\textcolor{lightgreen}{4} & \textcolor{lightgreen}{-3} & 0
\end{bmatrix} \tag{2}
$$

类似的，下面这个矩阵也不是一个稳态矩阵：

$$
\begin{bmatrix}
3 & 2 & 2 \\
6 & 2 & 2 \\
9 & 3 & 3
\end{bmatrix} \tag{3}
$$

因为上面 $(3)$ 式中的矩阵也存在可以消去的行或列，通过初等变换，我们可以将上面 $(3)$ 式中的矩阵变为一个稳态矩阵：

$$
\begin{bmatrix}
\textcolor{lightgreen}{3} & \textcolor{lightgreen}{2} & 0 \\
\textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{-2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \tag{4}
$$

当然，根据前面对稳态矩阵的定义，并不是必须含有全为 $0$ 元素的行或者列才能被称为稳态矩阵，下面的矩阵就是一个符合稳态矩阵定义的矩阵：

$$
\begin{bmatrix}
\textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{1} \\
\textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{2} \\
\textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{2} & \textcolor{lightgreen}{1}
\end{bmatrix} \tag{5}
$$

因为，上面式子 $(5)$ 中的矩阵是一个可逆矩阵，其对应的行列式不等于零：

$$
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 1
\end{vmatrix} = -1 \neq 0
$$

§2.1.2 折线形矩阵

基于上面对稳态矩阵的定义，我们可以在此基础上定义折线形矩阵——

这里之所以要将折线形矩阵定义在一个稳态矩阵的基础上，是因为，如果要将折线形矩阵定义在任意一个矩阵上，则就要说明白如何通过折线几何形态的变化，将一个处于“不稳态”的矩阵，变成上面所定义的处于“稳态”的矩阵，只有这样才能为之后研究折线形矩阵秩的几何形态打好基础——

但是，如此一来，折线形矩阵的定义就会变得很复杂，超出了本文中对折线形矩阵的需求. 所以，在本文中，我们定义在稳态矩阵基础上的折线形矩阵，相当于一种弱化版的折线形矩阵.

折线形矩阵的具体定义如下：

对于一个稳态矩阵，如果我们用符号 $\textcolor{orange}{\odot}$ 表示负数元素，用符号 $\textcolor{green}{\oplus}$ 表示正数元素，用符号 $\textcolor{#434343}{\circ}$ 表示零元素（在手绘的时候，为了方面绘制，我们也可以用实心圆点，或者其他任何方便绘制的形状表示矩阵中元素对应的符号），并且根据矩阵中元素绝对值的大小，相对性地选用不同字号的上述符号表示对应的元素. 当然，如果一个矩阵中只含绝对值大小相同的元素，就可以使用相同字号的上述元素. 接着，我们从矩阵的“起点”开始，按照从上到下，从左向右的优先级顺序，用直线依次连接上面的这些符号，直到抵达矩阵的“终点”，就得到了原矩阵对应的折线形矩阵.

关于折线形矩阵的“起点”和“终点”，会在下面的 “§2.2” 章节中做详细的说明.

同时，为了降低接下来内容的复杂度，我们事实上只是在“单位化的矩阵”上对折线形矩阵做研究——所谓“单位化的矩阵”就是矩阵中的元素只有 $0$, $1$ 和 $-1$ 三种取值.

此外，由于接下来的折线形矩阵都是建立在稳态矩阵基础上，根据“$n$ 维向量最多只可能组成有 $n$ 个向量组成的线性无关的向量组”的性质可知，在稳态矩阵中，除了全零的行和列之外，剩下的元素组成的矩阵一定是一个方阵，因此，在下面的 “§2.2” 章节中，折线形矩阵的“外接四边形”一定是正四边形（正方形）.

下面就来看看如何在稳态矩阵上绘制折线形矩阵——

矩阵 $\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$ （单位矩阵）对应的折线形矩阵如图 01 所示：

矩阵 $\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$ 对应的折线形矩阵如图 02 所示：

当然，我们也可以忽略 $0$ 元素，得到更加简洁的折线形矩阵，此时，矩阵 $\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$ 对应的折线形矩阵如图 03 所示：

矩阵 $\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$ 对应的折线形矩阵如图 04 所示：

矩阵 $\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 1
\end{bmatrix}$ 对应的折线形矩阵如图 05 所示：

从前面的定义可以看到，折线形矩阵的不同形态，事实上可以记录一个矩阵所经历的不同的初等变换（当然，某些中间过程的初等变换，可能会在变换的过程中被抵消，或者可以将多个初等变换看作一个初等变换，这是由矩阵以及矩阵初等变换的性质决定的）——

从前文还可以知道，折线形矩阵定义中的核心部分就是对连接元素顺序的定义. 但是，对折线形矩阵的定义并非只有本文前面提到的这一种，因为对元素连接顺序的定义可以有多种（例如，我们可以将元素连接线的连接顺序定义为“先下后上，从右向左”），我们甚至可以通过添加不同的表示符号，对一个元素是经由初等行变换，还是初等列变换得到的进行标识（事实上，某些初等行变换得到的矩阵，和某些初等列变换得到的矩阵有可能是相同的，对应的折线形矩阵也就是相同的，所以，在折线形矩阵中对初等行变换和初等列变换做区别，对于研究矩阵初等行变换和初等列变换的更加具体的性质，比如某种意义上的“镜像性质”具有很重要的作用，但这部分内容不在本文的讨论范畴之内）——

所以，无论我们以怎样的方式定义折线形矩阵，只要我们始终保持一致性的遵循对应的定义，对折线形矩阵所记录到的初等变换进行记录和读取，就可以满足本文的需求.

§2.2 折线形矩阵中矩阵秩的确定

观察上面的这些折线形矩阵，再借助《矩阵初等变换图》这篇文章中提出的“所有方阵都可以看做是从单位矩阵开始，经过一系列初等变换所得到的”这种观点可知，如果我们将所有方阵都看作是从同阶的单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 开始，经一系列初等变换得到的，那么，如果再将单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 左上角的元素和右下角的元素看作是固定一根橡皮筋的两个“钉子”（即“$\textcolor{red}{\oplus}$”，这两个“钉子”就是前面在定义折线形矩阵的时候所要求的“起点”和“终点”），将白色的连接线看作是“橡皮筋”，就可以绘制出如图 06 所示的带有起点和终点的折线形矩阵：

于是，我们可以这样说：

如果一个初等变换不会改变矩阵的秩，则这个初等变换就相当于在“端点固定的橡皮筋”的橡皮筋（白色直线）的指定位置重新钉上了一枚钉子，从而使得折线形矩阵发生了变化——

例如，将上面图 06 中的矩阵第二行加到第一行，就相当于通过钉钉子，使得橡皮筋在端点不变的情况下发生了下面如图 07 所示的几何形状上的改变：

我们还可以继续“钉钉子”. 比如，将上面图 07 中所示的折线形矩阵的第一行加到第三行，就得到了下面如图 08 所示的折线形矩阵：

上面这些操作都没有改变矩阵的秩，所以，图 06、07、08 中的折线形矩阵都有一个共同的特点——

折线形矩阵的的外接四边形一定是一个正方形，而正方形的每条边上连接的元素（包括零元素 $\textcolor{#434343}{\circ}$）符号的数量刚好与秩相等.

例如，对于图 08 中的矩阵，我们通过连接两个端点可知，其经过了三个元素，与秩刚好相等，如图 09 所示：

类似可知，如果将单位矩阵 $\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$ 变成矩阵 $\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$, 则矩阵 $\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$ 对应的折线形矩阵就是：

从图 10 可以看到，其外接多边形的边经过的元素数量都是 $3$, 所以，这个折线形矩阵的秩也是 $3$.

综上可知，在折线形矩阵中，如果我们将一条边上边上存在的符号的数量定义为这条边的“边长”，则矩阵的秩其实就是折线形矩阵外接正方形的边长.

§2.3 折线形矩阵的矩阵乘法运算及矩阵秩的变化

§2.3.1 基于折线形矩阵拆解矩阵乘法运算并构建投射关系图

根据《矩阵乘法的“左行右列”性质》这篇文章和《矩阵初等变换图》这篇文章可知，矩阵乘法就是将左侧矩阵的行变换施加到右侧矩阵上，或者说，矩阵乘法就是将右侧矩阵的列变换施加到左侧矩阵上——

例如，对于矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$, 矩阵乘法运算 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 其实就是将矩阵 $\boldsymbol{A}$ 记录到的从单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 开始的初等行变换施加到矩阵 $\boldsymbol{B}$ 上；或者说，是将矩阵 $\boldsymbol{B}$ 记录到的从单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 开始的初等行变换施加到矩阵 $\boldsymbol{A}$ 上.

同时，如果我们将一个矩阵所记录到的所有初等行变换（初等列变换类似）都逐一用折线形矩阵的形式拆分，则可知，只要初等变换没有改变矩阵的秩，那么，矩阵乘法运算所得的矩阵的秩也不会发生改变，因为在矩阵乘法运算中，左侧矩阵施加初等行变换到右侧矩阵的过程是一个“线性过程”，右侧矩阵施加初等列变换到左侧矩阵的过程也是一个“线性过程”——

例如，对于下面的矩阵变化过程：

$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \leadsto \textcolor{lightgreen}{ \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} } \leadsto \textcolor{orange}{ \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix} }
$$

在上面的变换过程中，单位矩阵到绿色矩阵的初等变换是交换第一行和第二行，对应的相对于单位矩阵的折线形初等变换表达形式如图 11 所示：

而从上面的绿色矩阵变成橙色矩阵的初等变换是交换第二行和第三行，对应的相对于单位矩阵的折线形初等变换表达式如图 12 所示：

而上面的橙色矩阵本身对应的折线形矩阵表达形式如图 13 所示：

因此，我们可以看到，从单位矩阵出发，经过图 11 和图 12 所对应的初等行变换，得到了图 13 对应的矩阵. 在整个过程中，由于图 11 和图 12 的初等变换都没有破坏其外接正四边形（没有导致外接四边形的边变大或者变小），并且图 11 和图 12 的初等变换施加到原矩阵（单位矩阵）的过程是线性的，所以，最后得到的矩阵（图 13）和作为出发点的单位矩阵相比，秩没有发生变化，因为外接正四边形的大小在整个初等行变换的过程中没有发生变化.

所以，我们可以将矩阵的乘法看作是一种透过一系列初等变换“投射”出所得矩阵的过程——

对于图 11、12、13 所示的矩阵的初等变换过程，对应的投射示意图如图 14 所示，图中的三个正四边形都是完全一样的，从左向右，分别对应图 11、12、13 中的外接正四边形：

上面所示的矩阵初等变换过程中，矩阵的秩都没有发生变化，而我们接下来就来看看，如果初等变换过程中改变了矩阵的秩，会有什么样的投射效果——

例如，对于下面的矩阵变化过程：

$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \leadsto \textcolor{lightblue}{ \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} } \leadsto \textcolor{pink}{ \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} }
$$

在上面的变换过程中，单位矩阵到浅蓝色矩阵的初等变换是第三行乘以零，对应的相对于单位矩阵的折线形初等变换表达形式如图 15 所示：

而从上面的浅蓝色矩阵变成粉色矩阵的初等变换是交换第一行和第二行，对应的相对于单位矩阵的折线形初等变换表达式如图 16 所示：

而上面的粉色矩阵本身对应的折线形矩阵表达形式如图 17 所示：

对于图 15、16、17 所示的矩阵的初等变换过程，对应的投射示意图如图 18 所示，图中的三个四边形从左向右，分别对应图 15、16、17 中的外接正四边形：

从图 18 可以看出，在两个矩阵相乘的过程中，较大区域的矩阵的秩会严格受限于较小区域的矩阵的秩，但是，相乘所得的矩阵秩的区域在新矩阵中的位置不一定与所有区域平行（图 18 中白色箭头和橙色箭头之间存在倾斜角度），但是，在下面的“叠影”过程中，由于我们只为了研究矩阵的秩，所以，可以忽略这一区别，认为相乘所得矩阵的秩所在的区域与“叠影”过程中的重叠区域是平行的关系（或者认为是任意不平行的关系，因为与秩真正相关的，只是正四边形的边长，而非正四边形的位置）.

§2.3.2 基于矩阵乘法的投射关系图构建叠影关系图

由于绘制如图 14 和如图 18 这样的矩阵投射示意图稍显复杂，所以，我们除了可以将矩阵乘法看作是折线形矩阵外接正四边形的“投射”，还可以将矩阵乘法看作一种折线形矩阵外接正四边形的“叠影”——在“叠影”中，能涵盖所有叠加层数的正四边形的边长，就是矩阵乘法运算所得矩阵的秩.

在叠影的过程中，仍然需要遵循矩阵乘法的运算法则——

根据矩阵乘法运算规则，在矩阵乘法运算 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{C}$ 中，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的第一行要依次乘以矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的第一列、第二列、第三列……对应的元素并求和，然后再将矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的第二行乘以矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的第一列、第二列、第三列……对应的元素并求和，以此类推.

根据上面的运算规则，如图 19-24 所示，当矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 都是同阶方阵的时候，只有两个矩阵中满秩的部分（蓝色虚线形成的折线形矩阵外接正四边形）重叠的区域会产生新的满秩部分（黄色圆点虚线），其余地方（灰色箭头连接的灰色符号）都无法形成满秩区域：

因此，经过上面的运算之后，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 在决定矩阵的秩这一层面，事实上只贡献了如图 25 中所示的黄色圆点虚线区域，从而使得相乘所得的矩阵中决定矩阵的秩的区域为如图 26 所示的大小：

类似地，根据上面的运算规则，如图 27-34 所示，当 $\boldsymbol{A}$ 是 $n \times m$ 阶的矩阵，$\boldsymbol{B}$ 是 $m \times k$ 阶的矩阵时，也是只有两个矩阵中满秩的部分（蓝色虚线形成的折线形矩阵外接正四边形）重叠的区域会产生新的满秩部分（黄色圆点虚线），其余地方（灰色箭头连接的灰色符号）都无法形成满秩区域：

因此，经过上面的运算之后，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 在决定矩阵的秩这一层面，事实上只贡献了如图 35 中所示的黄色圆点虚线区域，从而使得相乘所得的矩阵中决定矩阵的秩的区域为如图 36 所示的大小：

从上面的分析可知，两个矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 相乘时，通过“叠影”的方式判断所得矩阵 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 的秩的时候，其实就是将矩阵 $\boldsymbol{B}$ 反过来叠放在矩阵 $\boldsymbol{A}$ 上（或者说，是将矩阵 $\boldsymbol{A}$ 反过来叠放在矩阵 $\boldsymbol{B}$ 上），并保持左上角对齐——

因此，当 $\boldsymbol{A}$ 是 $n \times m$ 阶的矩阵，$\boldsymbol{B}$ 是 $m \times k$ 阶的矩阵时，判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 乘以矩阵 $\boldsymbol{B}$ 所得矩阵的秩的标准“叠影”过程如图 37~40 所示（图中绿色和紫色的实心圆点，以及黄色和橙色的空心圆点是用于标识旋转和翻转的状态，请注意识别）：

根据叠影后的几何形状可知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 乘以矩阵 $\boldsymbol{B}$ 所得矩阵的秩可由如图 41 所示的蓝色阴影部分对应的正四边形的边长判断得出：

当然，由正四边形的几何性质可知（四条边长度一致），通过上面的标准“叠影”过程，即先旋转后翻转后得到的重叠区域，事实上与如图 42~43 所示的直接平移“叠影”，得到的重叠区域是完全一样的. 因此，在实际使用的时候，我们可以通过平移，并保持矩阵乘法运算两个矩阵顶部与左侧对齐（图中红色箭头所指的位置）的方式，进行快速的“叠影”计算：

由于矩阵的秩必须表现为正四边形，所以，如果叠影得到的重叠区域是一个长方形，则对应的叠影矩阵就是该长方形中能够容纳的最大的正四边形，或者说，以重叠区域形成的长方形小边长度为边长的正四边形的边长就是矩阵的秩.

但是，上面展示“叠影”过程时使用的矩阵都有一个共同的特点，那就是在“叠影”的过程中，一个矩阵可以把另一个矩阵完全覆盖，但是，有些行数和列数不相等，但是相互之间可以进行矩阵乘法运算的矩阵，在进行叠影的过程并不能做到一个矩阵可以将另一个矩阵完全覆盖——

这个时候，就需要矩阵乘法运算符号左侧的矩阵在按照上面的方式进行对齐之后，再进行顶部对齐的无缝且与自身无重叠的水平拼接，直到完全覆盖矩阵乘法运算符号右侧的矩阵为止，如图 44~46 所示（其中，重叠区域为图 45 中灰色区域，能够表示矩阵秩的区域为图 46 中绿色区域）：

当然，对于上面的推理，我们还可以从另一个角度进行理解——

我们知道，矩阵的乘法运算不仅涉及数字的乘法，还涉及数字的加法，较为复杂. 因此，若要从一般的矩阵入手对矩阵乘法运算过程中矩阵秩的“叠影”性质进行分析，会比较复杂.

但是，我们还知道，矩阵乘法具有“普适性”，也就是说，由于单位矩阵 $\boldsymbol{E}$, 和普通矩阵 $\boldsymbol{A}$ 或者 $\boldsymbol{B}$ 都是矩阵，因此，$\boldsymbol{E} \textcolor{magenta}{\times} \boldsymbol{E}$ 中的矩阵乘法运算，和 $\boldsymbol{A} \textcolor{#00bffe}{\times} \boldsymbol{B}$ 中的矩阵乘法运算是性质完全一样的乘法运算——由于单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 拥有大量的零元素，所以，可以极大地简化矩阵乘法运算的具体计算过程，但又不妨碍我们对矩阵乘法运算性质的分析. 因此，我们可以通过单位矩阵，以局部的方式观察具有“普适性”的矩阵乘法整体的性质.

例如，通过下面这些方阵的乘法运算可知，上面得到的“叠影”性质完全成立：

$$
\begin{bmatrix}
\textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & 0 & 0 & 0 \\
\textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}_{5 \times 5} \times \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
0 & 0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} \\
\end{bmatrix}_{5 \times 5} = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}_{5 \times 5}
$$

$$
\begin{bmatrix}
\textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & 0 & 0 & 0 \\
\textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}_{5 \times 5} \times \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} \\
\end{bmatrix}_{5 \times 5} = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}_{5 \times 5}
$$

$$
\begin{bmatrix}
\textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & 0 & 0 & 0 \\
\textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}_{5 \times 5} \times \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
0 & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
0 & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
0 & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} \\
\end{bmatrix}_{5 \times 5} = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \textcolor{lightgreen}{1} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}_{5 \times 5}
$$

$$
\begin{bmatrix}
\textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & 0 & 0 & 0 \\
\textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}_{5 \times 5} \times \begin{bmatrix}
\textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
\textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
\textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
\textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
\textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} \\
\end{bmatrix}_{5 \times 5} = \begin{bmatrix}
\textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & 0 & 0 & 0 \\
\textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}_{5 \times 5}
$$

当然，对于行数和列数不相等，但是可以进行矩阵乘法运算的矩阵，上面得到的“叠影”性质仍然成立（在折线形矩阵的几何性质上，一个矩阵可以完全覆盖另一个矩阵，不需要进行无缝不重叠的拼接）：

$$
\begin{bmatrix}
\textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & 0 & 0 & 0 \\
\textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}_{4 \times 5} \times \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
0 & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
0 & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
0 & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0}
\end{bmatrix}_{5 \times 6} = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \textcolor{lightgreen}{1} & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}_{4 \times 6}
$$

$$
\begin{bmatrix}
\textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & 0 & 0 & 0 \\
\textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}_{4 \times 5} \times \begin{bmatrix}
\textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
\textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
\textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
\textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
\textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0}
\end{bmatrix}_{5 \times 6} = \begin{bmatrix}
\textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}_{4 \times 6}
$$

$$
\begin{bmatrix}
\textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & 0 & 0 & 0 \\
\textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}_{4 \times 5} \times \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1}
\end{bmatrix}_{5 \times 6} = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{1} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}_{4 \times 6}
$$

$$
\begin{bmatrix}
\textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & 0 & 0 & 0 \\
\textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}_{4 \times 5} \times \begin{bmatrix}
0 & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
0 & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
0 & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
0 & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
0 & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1}
\end{bmatrix}_{5 \times 6} = \begin{bmatrix}
0 & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}_{4 \times 6}
$$

特别的，对于下面的矩阵乘法，仍然符合前面提出的“叠影”性质（在折线形矩阵的几何性质上，一个矩阵无法完全覆盖另一个矩阵，需要进行无缝不重叠的拼接）：

$$
\begin{bmatrix}
\textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
\textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
\textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
\textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}_{5 \times 4} \times \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
0 & 0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
0 & 0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1}
\end{bmatrix}_{4 \times 6} = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
0 & 0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
0 & 0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}_{5 \times 6}
$$

$$
\begin{bmatrix}
\textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
\textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
\textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
\textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}_{5 \times 4} \times \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
0 & 0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} \\
0 & 0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0}
\end{bmatrix}_{4 \times 5} = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
0 & 0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}_{5 \times 5}
$$

$$
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}_{5 \times 4} \times \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
0 & 0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
0 & 0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1}
\end{bmatrix}_{4 \times 6} = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
0 & 0 & 0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}_{5 \times 6}
$$

$$
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{1} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}_{5 \times 4} \times \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
0 & 0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
0 & 0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1}
\end{bmatrix}_{4 \times 6} = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{1} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}_{5 \times 6}
$$

$$
\begin{bmatrix}
\textcolor{lightgreen}{1} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}_{5 \times 4} \times \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
0 & 0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
0 & 0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1}
\end{bmatrix}_{4 \times 6} = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}_{5 \times 6}
$$

$$
\begin{bmatrix}
\textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} & 0 & 0 \\
\textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}_{5 \times 4} \times \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{1} & \textcolor{lightgreen}{0} \\
0 & 0 & 0 & 0 & \textcolor{lightgreen}{0} & \textcolor{lightgreen}{1}
\end{bmatrix}_{4 \times 6} = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}_{5 \times 6}
$$

§2.3.3 基于矩阵乘法的叠影关系图证明矩阵乘法中秩的变化性质

基于“叠影”的方式，我们可以很直观地完成一些矩阵乘法与矩阵的秩有关的一些定理的证明——

根据上面的“叠影”方法，我们可以首先对「荒原之梦考研数学」的《满秩矩阵与满秩或不满秩矩阵相乘所得矩阵是否满秩？》这篇文章中所得的结论进行证明：

1. 如图 47 所示，根据几何原理可知，两个相同大小的正四边形叠加到一起，重叠区域也是相同大小的正四边形，所以两个满秩的矩阵“叠影（相乘）”，则所得的矩阵一定满秩，即“两个同阶满秩的方阵相乘所得的矩阵一定也满秩”：

1. 如图 48~49 所示，根据几何原理可知，一个小正四边形叠加到另一个大正四边形上，只能得到一个小四边形，所以一个不满秩的矩阵和一个满秩的矩阵“叠影（相乘）”，则所得的矩阵一定不满秩，即“两个同阶的方阵，如果一个满秩一个不满秩，则相乘得到的矩阵一定不满秩”：

接着，如图 50~51 所示，根据几何原理可知，由于“叠影”不是“拼接”，“叠影”的重叠区域一定不会大于原有的区域，所以，不满秩矩阵乘以不满秩矩阵，得到的一定是一个不满秩矩阵，因此，也就证明了「荒原之梦考研数学」《满秩矩阵与满秩或不满秩矩阵相乘所得矩阵的秩该怎么判断？》这篇文章中的公式 $(1)$, 即 $\mathrm{r} \left( \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \right)$ $\leqslant$ $\mathrm{min} \left[ \mathrm{r} \left( \boldsymbol{A} \right), \mathrm{r} \left( \boldsymbol{B} \right) \right]$：

在上面的绘图中，为了方便绘制和理解，我们使用的都是方阵（图形是正方形）. 但是，如果要证明「荒原之梦考研数学」《满秩矩阵与满秩或不满秩矩阵相乘所得矩阵的秩该怎么判断？》这篇文章中的公式 $(2)$ 为什么是 $\mathrm{r} \left( \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \right)$ $\geqslant$ $\mathrm{r} \left( \boldsymbol{A} \right)$ $+$ $\mathrm{r} \left( \boldsymbol{B} \right)$ $-$ $\textcolor{#FF9900}{m}$, 而不是 $\mathrm{r} \left( \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \right)$ $\geqslant$ $\mathrm{r} \left( \boldsymbol{A} \right)$ $+$ $\mathrm{r} \left( \boldsymbol{B} \right)$ $-$ $\textcolor{#9900FF}{n}$, 或者 $\mathrm{r} \left( \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \right)$ $\geqslant$ $\mathrm{r} \left( \boldsymbol{A} \right)$ $+$ $\mathrm{r} \left( \boldsymbol{B} \right)$ $-$ $\textcolor{#4EA86A}{k}$（其中，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 为 $\textcolor{#9900FF}{n}$ 行 $\textcolor{#FF9900}{m}$ 列的矩阵，矩阵 $\boldsymbol{B}$ 为 $\textcolor{#FF9900}{m}$ 行 $\textcolor{#4EA86A}{k}$ 列的矩阵）, 我们就需要用到列数和行数不相等的矩阵，也就是在“叠影”中使用长方形来证明这一公式——

根据简单的几何原理以及前面对“叠影”具体方式的推理可知，在如图 53 所示的矩阵乘法符号左右两侧的两个矩阵相乘的过程中，能够表示矩阵的秩的正四边形一定会出现在橘黄色的两条边（边长为 $\textcolor{#FF9900}{m}$）所围成的大正四边形的内部：

所以，我们要分析矩阵乘法运算后所的矩阵秩的取值，就需要对由橘黄色的两条边组成的正四边形进行分析，同时，为了便于区分，我们分别用蓝色和绿色两种虚线表示参与矩阵乘法运算的两个矩阵的秩对应的正四边形——

根据前面“叠影”的规则可知，必然会有一个矩阵的秩对应的正四边形在橘黄色正四边形的内部，但是，如果另一个矩阵的秩对应的正四边形不在这个橘黄色正四边形的内部（橘黄色正四边形的位置是可以随着叠影过程发生变化的），则就要说明存在一个矩阵的秩是零，此时 $\mathrm{r} \left( \boldsymbol{A} \right)$ $+$ $\mathrm{r} \left( \boldsymbol{B} \right)$ $-$ $\textcolor{#FF9900}{m}$ $=$ $\mathrm{r} \left( \boldsymbol{A} \right)$ $+$ $0$ $-$ $\textcolor{#FF9900}{m}$ $<$ $0$. 但因为矩阵的秩一定是大于或等于零的，所以，此时 $\mathrm{r} \left( \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \right)$ $\geqslant$ $\mathrm{r} \left( \boldsymbol{A} \right)$ $+$ $\mathrm{r} \left( \boldsymbol{B} \right)$ $-$ $\textcolor{#FF9900}{m}$ 成立，如图 54 所示：

当进行矩阵乘法运算的两个矩阵都存在秩的时候，则对应的蓝色和绿色虚线正四边形一定位于橘黄色正四边形的内部，但可能不存在重叠区域，此时，$\mathrm{r} \left( \boldsymbol{A} \right)$ $+$ $\mathrm{r} \left( \boldsymbol{B} \right)$ $-$ $\textcolor{#FF9900}{m}$ $<$ $0$, 或者 $\mathrm{r} \left( \boldsymbol{A} \right)$ $+$ $\mathrm{r} \left( \boldsymbol{B} \right)$ $-$ $\textcolor{#FF9900}{m}$ $=$ $0$. 同样由于矩阵的秩一定是大于或等于零的，所以，此时 $\mathrm{r} \left( \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \right)$ $\geqslant$ $\mathrm{r} \left( \boldsymbol{A} \right)$ $+$ $\mathrm{r} \left( \boldsymbol{B} \right)$ $-$ $\textcolor{#FF9900}{m}$ 成立，如图 55~56 所示：

更进一步，如果蓝色和绿色虚线正四边形在橘黄色正四边形内部存在重叠区域，则说明 $\mathrm{r} \left( \boldsymbol{A} \right)$ $+$ $\mathrm{r} \left( \boldsymbol{B} \right)$ $>$ $\textcolor{#FF9900}{m}$, 即 $\mathrm{r} \left( \boldsymbol{A} \right)$ $+$ $\mathrm{r} \left( \boldsymbol{B} \right)$ $-$ $\textcolor{#FF9900}{m}$ $>$ $0$. 但是，在蓝色和绿色虚线正四边形大小不变的情况下，根据蓝色和绿色虚线正四边形相对位置的不同，所得的重叠区域的大小也会发生变化，因此 $\mathrm{r} \left( \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \right)$ $\geqslant$ $\mathrm{r} \left( \boldsymbol{A} \right)$ $+$ $\mathrm{r} \left( \boldsymbol{B} \right)$ $-$ $\textcolor{#FF9900}{m}$ 成立，如图 57~58 所示：

当然，蓝色和绿色虚线正四边形重叠能得到的最大的重叠正四边形取决于蓝色和绿色虚线正四边形中较小的那一个，因此 $\mathrm{r} \left( \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \right)$ $\leqslant$ $\mathrm{min} \left[ \mathrm{r} \left( \boldsymbol{A} \right), \mathrm{r} \left( \boldsymbol{B} \right) \right]$, 如图 59 所示：

§2.4 折线形矩阵的矩阵乘法运算及一些几何性质

通过本文前面所定义的折线形矩阵，我们事实上还可以通过折线形矩阵观察到一些矩阵乘法运算过程中，矩阵几何形态的有趣变化形式（为了简化绘图，接下来的折线形矩阵中用于表示元素的符号都使用的同一个字号，没有根据元素绝对值的大小区分不同元素符号的大小）——

示例 1：

矩阵乘法运算：

$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$

对应的折线形矩阵运算过程为：

从上图可以观察到，单位矩阵乘以单位矩阵，得到的仍然是单位矩阵.

示例 2：

矩阵乘法运算：

$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$

对应的折线形矩阵运算过程为：

从上面的图可以看到，单位矩阵乘以其他矩阵，得到的仍然是一个其他矩阵.

示例 3：

矩阵乘法运算：

$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 5
\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}
2 & 1 & 0 \\
0 & 6 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
2 & 13 & 0 \\
0 & 18 & 0 \\
0 & 0 & 15
\end{bmatrix}
$$

对应的折线形矩阵运算过程为：

从上面的图可以看到，如果从单位矩阵开始形成的参与矩阵乘法运算的两个矩阵的初等变换的过程中不涉及交换两行或者两列的操作，则如果这个相乘的矩阵对应的折线形矩阵的相同（不含有负数元素），相乘得到的矩阵也可能具有相同的折线形矩阵.

示例 4：

矩阵乘法运算：

$$
\begin{bmatrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$

对应的折线形矩阵运算过程为：

从上面的图可以看到，如果从单位矩阵开始形成的参与矩阵乘法运算的两个矩阵的初等变换的过程中不涉及交换两行或者两列的操作，则如果这个相乘的矩阵对应的折线形矩阵相同（含有负数元素），相乘得到的矩阵的折线形矩阵或可以看作是从做矩阵乘法运算的矩阵对应的折线形矩阵基础上简化得到的.

示例 5：

矩阵乘法运算：

$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
2 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1
\end{bmatrix}
$$

对应的折线形矩阵运算过程为：

从上面的图可以看到，矩阵乘法中，被乘的矩阵和相乘所得的矩阵对应的折线形矩阵可能相同.

示例 6：

矩阵乘法运算：

$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
2 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 1
\end{bmatrix}
$$

对应的折线形矩阵运算过程为：

从上面的图可以看到，矩阵乘法中，参与乘法运算的两个矩阵，以及相乘所得的矩阵对应的折线形矩阵可能都不相同.

三、总结

在本文中，「荒原之梦」基于矩阵、矩阵乘法以及矩阵的秩的性质，定义了稳态矩阵、折线形矩阵、矩阵秩的外接正四边形，以及可以呈现矩阵乘法性质的“投射”和“叠影”方法，从而在几何视角上，构建了另一种表述矩阵相关性质的形式. 通过本文中所述的方法，我们可以在几何形态上，对矩阵的相关性质进行研究. 相对于传统的数字阵列形矩阵，本文中所构建的建立于几何形态上的矩阵及其性质，可以使得对矩阵的分析更加具象化，也会在某些情况下，简化对矩阵相关问题的思考与解答过程.

此外，本文中仍存在一些值得深入挖掘的研究内容，例如，如何通过折线形矩阵，从几何形式上表现矩阵通过初等变换消出全零行或者全零列的过程；如何深入理解折线形矩阵的几何形态在矩阵乘法运算过程中的变化规律；是否可以将折线形矩阵用于矩阵加减运算、求逆的运算，以及求伴随矩阵等运算……

---

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的《满秩矩阵与满秩或不满秩矩阵相乘所得矩阵是否满秩？》这篇文章中，我们知道：

• 两个同阶满秩的方阵相乘所得的矩阵一定也满秩；
• 两个同阶的方阵，如果一个满秩一个不满秩，则相乘得到的矩阵一定不满秩.

而在本文中，我们就通过具体的公式推导，来看看，满秩或者不满秩的方阵相乘，所得的矩阵的秩为什么值.

继续阅读“满秩矩阵与满秩或不满秩矩阵相乘所得矩阵的秩该怎么判断？”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们汇总一下求解逆矩阵的常用方法.

二、正文

在本文中，我们设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 都是可逆矩阵.

方法 1：定义法

根据逆矩阵的定义，我们知道，如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 互为逆矩阵，则有：

$$
\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} = \boldsymbol{B}\boldsymbol{A} = \boldsymbol{E}
$$

因此，我们可以用逆矩阵的定义来求解逆矩阵，即：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{B}, \ \boldsymbol{B}^{-1} = \boldsymbol{A}
}
$$

方法 2：伴随矩阵法

根据伴随矩阵的定义，我们知道：

$$
\boldsymbol{A}^{*} = \boldsymbol{A}^{-1} \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix}
$$

于是，我们可以用伴随矩阵的定义来求解逆矩阵，即：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\boldsymbol{A}^{-1} = \frac{\boldsymbol{A}^{*}}{ \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} }
}
$$

方法 3：分块矩阵法

对于分块矩阵，我们可以使用下面的公式快速求解其逆矩阵：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{aligned}
& \begin{bmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{bmatrix} \\ \\
& \begin{bmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \\ \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \end{bmatrix}
\end{aligned}
}
$$

方法 4：初等变换法

根据《初等变换求逆法的形象理解》这篇文章可知——

对于矩阵 $\boldsymbol{A}$, 我们可以用初等行变换的方式得到其逆矩阵，即：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{E}
\end{pmatrix} \xrightarrow{\text{初等行变换}} \begin{pmatrix}
\boldsymbol{E} \mid \boldsymbol{A}^{-1}
\end{pmatrix}
}
$$

也可以用初等列变换的方式得到其逆矩阵，即：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{E}
\end{pmatrix} \xrightarrow{\text{初等列变换}} \begin{pmatrix}
\boldsymbol{E} \\
\boldsymbol{A}^{-1}
\end{pmatrix}
}
$$

---

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过多种方式，证明以下两个结论：

• 两个同阶满秩的方阵相乘所得的矩阵一定也满秩；
• 两个同阶的方阵，如果一个满秩一个不满秩，则相乘得到的矩阵一定不满秩.

继续阅读“满秩矩阵与满秩或不满秩矩阵相乘所得矩阵是否满秩？”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们总结一下线性代数中矩阵的秩有关的性质/结论/公式.

继续阅读“矩阵秩的性质汇总”

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的《通过矩阵初等变换图理解逆矩阵初等变换的“逆对称”性质》这篇文章中，我们看到了如何用矩阵初等变换图来表示可逆矩阵，而在本文中，我们就对矩阵初等变换图做进一步的升级，并基于升级之后的矩阵初等变换图表示出来不可逆的矩阵.

继续阅读“基于环形矩阵初等变换图理解什么是可逆矩阵，什么是不可逆矩阵”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将借助矩阵初等变换的“逆对称”性质，探讨一下等价矩阵与相似矩阵之间的关系.

继续阅读“等价矩阵一定包含相似矩阵，反之则不一定”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将从可逆矩阵的性质出发，通过图示的方式为同学们讲清楚由荒原之梦原创的逆矩阵的“逆对称”概念，这一概念的引入可以帮助同学们建立对矩阵的初等变换，以及对逆矩阵、转置矩阵和正交矩阵更加形象和直观的理解.

继续阅读“通过矩阵初等变换图理解逆矩阵初等变换的“逆对称”性质”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们介绍一类特别的矩阵：正交矩阵.

继续阅读“转置运算和逆运算的桥梁：正交矩阵”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过一个特别设计的矩阵 $\begin{bmatrix}
a & d & 0 \\
0 & b & 0 \\
0 & 0 & c
\end{bmatrix}$ 来给同学们讲清楚什么是矩阵乘法中的“左行右列”性质.

继续阅读“什么是矩阵乘法的“左行右列”的性质？”

一、前言

根据矩阵的性质，我们知道，如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 等价或者相似，那么，就会存在下面这样的秩相等的链式关系式：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B}
\end{pmatrix}
}
$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过图示的方式，让同学们可以通过图形的方式，更加形象的对上面的公式有一个深入的理解。

继续阅读“图解等价/相似矩阵的链式等秩公式”

一、题目

设矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$, $\boldsymbol{B} = \boldsymbol{A}^{2} – 3 \boldsymbol{A} + 2 \boldsymbol{E}$, 则 $\boldsymbol{B}^{-1} = \underline{\quad \quad \quad}$

继续阅读“求解逆矩阵的三种方法”

一、前言

通过《求解分块矩阵的伴随矩阵》这篇文章，我们学会了如何快速求解分块矩阵的伴随矩阵，即：

$$
\begin{bmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{bmatrix}^{*} = \begin{bmatrix} |\boldsymbol{B}| \boldsymbol{A}^{*} & – \boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{B}^{*} \\ \boldsymbol{O} & |\boldsymbol{A}| \boldsymbol{B}^{*} \end{bmatrix}
$$

又根据《一阶矩阵的伴随矩阵是多少？》这篇文章可知，如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 都是一阶矩阵的话，则：

$$
\boldsymbol{A}^{*} = \boldsymbol{B}^{*} = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}
$$

于是，对于一个形如 $\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & b \end{bmatrix}$ 的二阶矩阵，其伴随矩阵的计算公式为：

$$
\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & b \end{bmatrix}^{*} = \begin{bmatrix}
|b| \cdot 1 & -1 \cdot 1 \\
0 & a \cdot 1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
b & -1 \\
0 & a
\end{bmatrix}
$$

但是，直接使用针对分块矩阵的伴随矩阵计算公式，只能计算类似 $\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & b \end{bmatrix}$ 这样的二阶矩阵的伴随矩阵，接下来，我们就来看看如何快速计算任意一个二阶矩阵的伴随矩阵.

继续阅读“快速求解二阶矩阵的伴随矩阵：主对调、副变号”