线性代数抽象矩阵(块矩阵)运算规则(性质)汇总

一、前言 前言 - 荒原之梦

抽象矩阵是线性代数中的学习和研究中一种很重要的范畴。在本文中,荒原之梦网(zhaokaifeng.com)将针对考研数学线性代数中抽象矩阵的运算规律和性质做一个汇总与分析。

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注意啦:题目给出的是逆矩阵,但是让求解的是原矩阵对应的行列式的代数余子式

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $\boldsymbol{A}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right]$, 则 $|\boldsymbol{A}|$ 的代数余子式 $A_{11}+A_{12}+A_{13}=?$

难度评级:

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分块矩阵求逆法的口诀

一、前言 前言 - 荒原之梦

口诀全文(版本一):

主对角线直接逆;
副对角线交换逆;
上下三角副对角线上的不取逆;
上下三角加负号顺时针串联。

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口诀全文(版本二):

主对角线 AB 逆;
副对角线 BA 逆;
上下三角 C 不逆;
顺时针串联加负号。

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一个向量组可由另一个向量组线性表示的充分必要条件是什么?(C019)


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问题

一个向量组 $A = (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s})$ 可由另一个向量组 $B = (\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t})$ 线性表示(线性表出)的【充分必要条件】是什么?

选项

[A].   $r(A) \neq r(A,B)$

[B].   $r(A) > r(A,B)$

[C].   r(A) < r(A,B)

[D].   $r(A) = r(A,B)$


答 案

$r(A) = r(A,B)$

对二次型配方法的改进:蒲和平偏导数法解析

一、前言 前言 - 荒原之梦

将二次型化为标准型和规范型有两种常用的方法,一种是正交变换法,另一种是配方法(其中最常用的是拉格朗日配方法)。

但是,使用配方的一个障碍是我们有时候比较难以凑出来平方项。

在蒲和平老师主编,由北京高等教育出版社于 2014 年 08 月出版的《线性代数疑难问题选讲》一书(ISBN 978-7-04-040392-3)中,提出了一个令人耳目一新的改进的配方法:偏导数法。

在本文中,荒原之梦(zhaokaifeng.com)将对蒲和平老师的这一偏导数配方法加以通俗的解析,希望能帮助大家更加顺畅的解答有关将二次型化为标准型或者规范型的问题。

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将二次型化为标准型(规范型)的方法之:拉格朗日配方法

一、前言 前言 - 荒原之梦

在考研数学中,将二次型化为标准型或者规范型有两种常用的方法,即正交变换法和拉格朗日配方法。那么,拉格朗日配方法相对于正交变换法有哪些优点呢?拉格朗日配方法的具体计算步骤是怎样的呢?在计算过程中需要注意什么问题呢?

针对但不限于上面这些问题,在本文中,荒原之梦考研数学(zhaokaifeng.com)将逐一回答。

小提示:如果对拉格朗日配方法不够熟悉的话,阅读本文就需要多一点耐心,最好准备好纸和笔,跟着文中的步骤亲自计算一遍,把本文从头学到尾,你会很有收获感!

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若一个矩阵的秩为 3,是否意味着该矩阵的任意二阶子式都不为零?

一、前言 前言 - 荒原之梦

你是否有这样的疑问:若一个 $n$ 阶矩阵的秩为 $k$, 那是否意味着该矩阵的任意 $k-1$ 阶子式都不为零?(其中,$k – 1 > 0$ 且 $k$ 为正整数。)

下面通过详细的分析以及一个易于理解的比喻就可以让我们搞明白这个问题。

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