「荒原之梦考研数学」文章 - 第6页共261页

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过文字和图示的方式解释概率论中的交集、并集、差集和补集。

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每日箴言：敬畏自然，也是敬畏心中的禁地

在自然的力量面前，人类的力量显得非常渺小单薄。但是，拥有如此强大能量的大自然，却用郁郁葱葱的森林和甘甜缠绵的泉水，呵护着我们的生命。所以，如果一个人尚不能做到对大自然的敬畏，那么，也很难恪守需要自我约束的道德与良知标准。

2024 年 07 月 30 日

每日箴言：每天一句话，为梦想加油！
专属福利：全部加入 考研数学思维导图 VIP 的同学都将在年底免费获赠《荒原之梦 2025 年度每日箴言合集》电子版一份。

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描述：1990 年 04 月 21 日里道特火山喷发时产生的蘑菇云，火山碎屑流组成的蘑菇云从火山北侧升起。里道特火山位于美国阿拉斯加州南部，安克雷奇市西南约 180 公里处，库克湾西岸，海拔 3108 米。
作者：R. Clucas
授权协议：本图片在美国属于公有领域，因为其只包含最初来自美国内政部下属机构美国地质调查局的材料。
拍摄时间（当地时间）：摄于 1990 年 04 月 21 日
相机坐标：未知
来源：wikimedia.org

用画图的方式求解概率论题目很方便，但难点在于如何画和怎么理解

一、题目

已知事件 $A$ 和 $B$ 满足：

$$
A B = \bar { A } \bar { B }
$$

则下列关于 $A \cup B$ 的说法中，正确的是哪一个？

[A]. $A \cup B$ $=$ $\Omega$

[B]. $A \cup B$ $=$ $\varnothing$

[C]. $A \cup B$ $=$ $A$

[D]. $A \cup B$ $=$ $B$

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每日箴言：登山的过程比登上高山更加迷人

荒原之梦考研数学 | 每日箴言 | 图片来自：pexels-ricky-esquivel-1907785

我们总是容易醉心于梦想实现的那一刻，总是倾向于认为那才是努力的意义。但是，人生本就是一次又一次的体验，所以，在憧憬成功的时候，享受努力的过程，可以让我们的人生更加饱满，更加真实和生动。

2024 年 07 月 29 日

事件与其对立事件可能相等吗？

一、前言

事件 $A$ 与其对立事件 $\bar{A}$ 可能相等吗？也就是说，下面这个式子成立吗：

$$
A = \bar{A}
$$

接下来，「荒原之梦考研数学」就给同学们阐释清楚上面这个问题。

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每日箴言：先掌握当下的自己，才能描摹未来的模样

实现梦想的路上，自己是最大的基础，自己的时间是最大的成本，因此，管理好自己和自己的时间，就是管理好自己人生最大的资本。

2024 年 07 月 28 日

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描述：图为路易一世大桥和葡萄牙波尔图市的华灯初上景观。该大桥建于 1881 年至 1886 年，横跨杜罗河，连接波尔图和加亚新城，承载波尔图地铁和公路。
作者：Diego Delso
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 4.0 国际许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2019 年 06 月 02 日 22 时 54 分
相机坐标：未知
来源：wikimedia.org

题目的答案就是题目的充分必要条件：答案既不能只是题目的充分条件，也不能是题目的必要条件

一、题目

已知，有 $3$ 阶矩阵：

$$
\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}
b & a & a \\
a & b & a \\
a & a & b
\end{bmatrix}
$$

若 $r \left( \boldsymbol {A}^{*} \right)$ $=$ $1$，则下列选项正确的是哪一个：

[A]. $a \neq b$ 且 $b + 2 a$ $\neq$ $0$

[B]. $a \neq b$ 且 $b + 2 a$ $=$ $0$

[C]. $a = b$ 或 $b + 2 a$ $\neq$ $0$

[D]. $a = b$ 或 $b + 2 a$ $=$ $0$

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每日箴言：记忆抵不过岁月，只有回忆独自飘零

荒原之梦考研数学 | 每日箴言 | 图片来自：Jose María Ligero Loarte

无论多么清晰的记忆，都会在岁月河流的冲刷中，逐渐褪色。一个人的一生中，会有很多关键和重要的时刻，但无论欢喜还是悲伤，所有的一切都将化作独自漂泊在过去的回忆，渐行渐远…

2024 年 07 月 27 日

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描述：图为从瓜达几维河望向西班牙的科尔多瓦历史中心的风光，科尔多瓦历史中心于 1994 年被联合国教科文组织列为世界文化遗产。图中的石拱桥名为“罗马桥”，该桥全长 331 米，宽 9 米，由罗马人于公元前一世纪初建造，可能取代了以前位于此地的木桥。
作者：Jose María Ligero Loarte
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 4.0 国际许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2023 年 08 月 01 日 15 时 25 分
相机坐标：西经 4° 46′ 37.77″, 北纬 37° 52′ 29.61″
来源：wikimedia.org

交集取决于“小”的，并集取决于“大”的

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过四个例子和相关图示讲明白以下两个概率论中的定理：

集合“交 $\cap$”运算的结果取决于较小的集合；
集合“并 $\cup$”运算的结果取决于较大的集合。

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每日箴言：在“真我”和“假我”中纠缠的人生是悲惨的人生

五颜六色的世界以及这世界中的我们，很多时候都会纠缠在“真我”与“假我”之间——为了世俗的成功和名利，我们可能会做不想做的事，说不想说的话，甚至成为不想成为的人。只有当夜幕降临，独自一人望向浩瀚的夜空，我们或许才能找回真实的自己。

是的，做好外人眼中的“假我”有时候也很难，但更难的是成为遵循自己内心的“真我”。而只有敢于面对真我，勇于批判和拥抱真我，才能让世界成为真实的世界——真实的善良、真实的丑恶、真实的真实。

2024 年 07 月 26 日

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描述：图为黄昏时分法国巴黎的皇家桥和奥赛博物馆。
作者：Pierre Blaché
授权协议：本作品采用知识共享 CC0 1.0 通用公有领域贡献许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2020 年 07 月 10 日 21 时 11 分
相机坐标：东经 2° 19′ 58.75″, 北纬 48° 51′ 35.52″
来源：wikimedia.org

考研数学中各种积分符号的写法与含义汇总

一、前言

各种积分符号的写法与含义汇总 | 荒原之梦考研数学 | 图片由 Stephen Wolfram, LLC 拍摄，采用 MIT 协议授权。 — 图 01. 莱布尼茨（*Leibniz*）有关积分和微分表示法的手稿，这是在互联网上可以获取到的几乎最清晰的照片：正是莱布尼茨最先发明并使用了积分符号。

在考研高等数学中，我们会接触到很多种积分符号，这些积分符号有着各自的书写方式与含义。在本文中，「荒原之梦考研数学」就汇总常见的积分符号及其含义，在文末还有一段积分符号的历史介绍给大家哦~

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借助二次方程求解未知矩阵

一、题目

已知 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 满足：

$$
\begin{cases}
\boldsymbol{A} = \frac{1}{3} (\boldsymbol{B} + \boldsymbol{E}) \\ \\
\boldsymbol{A} ^{2} = \boldsymbol{A}
\end{cases}
$$

则：

$$
\boldsymbol{B} = ?
$$

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每日箴言：不同的季节，阳光有不同的味道

夏日晴空下的阳光干裂刺眼，冬日晨霜中的阳光凌冽温煦，梅雨时节里的阳光清新粘滞——小时候的阳光明媚轻快，生机勃勃，长大后的阳光却似乎只是阳光，没有特色，每一缕都像是单调的复制粘贴。但其实，每个阶段的阳光都有自己的味道，只是需要一段时间的酝酿，正如一罐罐老酒，只有在未来才能喝出当下的滋味。

2024 年 07 月 25 日

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描述：图为 2023 年 7 月冰岛法格拉达尔火山的爆发，该火山是一座位于冰岛南半岛区的平顶火山，形成于末次冰期，距离冰岛首都雷克雅未克市约 40 千米。这座火山长 16 千米，宽 5 千米，最高峰是高度 385 米的朗霍尔峰。该图片由无人机近距离拍摄。
作者：Giles Laurent
授权协议：本文件采用知识共享署名 4.0 国际许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2023 年 07 月 26 日 17 时 38 分
相机坐标：西经 22° 12′ 07.6″, 北纬 63° 55′ 00.6″
来源：wikimedia.org

a+b 的平方到底该怎么展开？

一、前言

「荒原之梦考研数学」的这篇文章的标题看上去很“无聊”，因为现在正在看这篇文章的同学，几乎不会有人不知道怎么展开 $(a + b) ^{2}$.

那么，这篇文章的目的是什么呢？

其实，这篇文章只是想表达：

在考研数学的学习中，我们只要能保证遵守最基本的定理逻辑，在定理形式的理解和表达上，就可以自己怎么喜欢怎么来，怎么方便怎么来。

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每日箴言：我们小时候就明白的道理，长大了也许却没有好好实践

荒原之梦考研数学 | 每日箴言 | 图片来自：Christopher Crouzet

越来越觉得，小时候学校教室里那句“好好学习天天向上”，简直就是至理名言——谁都没法否认的是，一个努力的人，一个向往更美好未来并为之不懈努力的人，就是幸福的人，就是可敬的人，就是堂堂正正的人。我们时常会听到来自别人的很多学习的经验和奋斗的智慧，也许这些“经验”和“智慧”装饰着各种各样华丽的辞藻，但其实，最朴素的，仍然是要“好好学习”，学习知识，学习技能，学习与自己和世界相处的方式；而最根本的，就是要“天天向上”，让生命充实饱满，让人生热烈绽放，让世界，看到我们的光。

2024 年 07 月 24 日

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描述：图为中美洲国家危地马拉的帕卡亚火山，该火山是一座复合型活火山，坐落在沿太平洋的中美洲火山弧上，海拔 2252 米，距离联合国教科文组织评定的世界文化遗产安地瓜古城和危地马拉首都危地马拉城的拉奥罗拉国际机场的直线距离各约 20 公里。
作者：Christopher Crouzet
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 4.0 国际许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2013 年 12 月 20 日 17 时 36 分
相机坐标：西经 90° 36′ 12.62″, 北纬 14° 22′ 59.01″
来源：wikimedia.org