「荒原之梦考研数学」文章

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将对什么是二次型、二次型的本质、二次型与实对称矩阵之间的关系、常用的化二次型为标准型的方法等，做一个全面且深度的解析，帮助同学们更加深入地理解考研线性代数中的二次型.

继续阅读“二次型全面深度解析”

一、前言

二次型的可逆线性换元（变量替换）本质上就是求原矩阵的合同矩阵，在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过定义来说明为什么是这样的.

继续阅读“二次型的可逆线性换元（变量替换）与矩阵的合同”

一、前言

对于方阵而言，如果一个矩阵的元素关于主对角线对称位置对应相等，这个矩阵就被称为“对称矩阵”，如果一个矩阵的元素关于主对角线对称位置对称正负相反，这个矩阵就被称为“斜对称矩阵”.

在本文中，「荒原之梦考研数学」就基于转置矩阵的性质，为同学们讲解清楚：为什么任意一个矩阵都可以写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和？

Tip

斜对称矩阵并不是关于矩阵副对角线对称的矩阵.

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§1. 什么是实对称矩阵？

要定义实对称矩阵，我们首先需要知道什么是对称矩阵——

设 $\boldsymbol{A} = \left( a_{ij} \right)_{n \times n}$ 是一个 $n$ 阶方阵，如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^{\top} = \boldsymbol{A}$, 那么就称 $\boldsymbol{A}$ 是对称矩阵.

也就是说，一个对称矩阵，指的就是关于主对角线对称，主对角线两边对应位置的元素相等的矩阵：

$$
\boldsymbol{A}^{\top} = \boldsymbol{A} \iff a_{ij} = a_{ji} \quad \left( \forall i, j \right)
$$

例如，下面的矩阵就是一个对称矩阵：

$$
\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{matrix} \right)
$$

因为 $a_{12} = a_{21} = 2$, $a_{13} = a_{31} = 3$, $a_{23} = a_{32} = 5$.

基于上面的定义，我们就可以定义什么是实对称矩阵——

如果一个对称矩阵的所有元素都是实数，就称它为实对称矩阵.

考研数学中的对称矩阵，一般就是实对称矩阵.

§2. 实对称矩阵的重要性质

1. 实对称矩阵的特征值都是实数

需要注意的是，实对称矩阵主对角线上的元素不一定是其特征值，或者说，实对称矩阵主对角线上的元素与实对称矩阵的特征值之间没有必然的关系.

2. 实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交

若特征值 $\lambda_{1} \neq \lambda_{2}$, 且这两个特征值对应的征向量分别为 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$，则：

$$
\boldsymbol{\alpha}^{\top} \boldsymbol{\beta} = 0
$$

3. 实对称矩阵一定可以正交对角化

若 $\boldsymbol{A}$ 是实对称矩阵，则存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$, 使得：

$$
\boldsymbol{Q}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{\Lambda}
$$

其中 $\boldsymbol{\Lambda}$ 是对角矩阵，即：

$$
\boldsymbol{\Lambda} = \mathrm{diag} \left( \lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots, \lambda_{n} \right)
$$

§3. 实对称矩阵与二次型的关系

若 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是对称矩阵，则其对应的二次型为：

$$
f \left( \boldsymbol{x} \right) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} x_{i}^{2} + 2 \sum_{1 \le i < j \le n} a_{ij} x_{i} x_{j}
$$

注意：交叉项 $a_{ij} x_{i} x_{j}$ 前面的系数之所以是 $2$, 是因为 $a_{ij} x_{i} x_{j}$ 和 $a_{ji} x_{j} x_{i}$ 合并了，且 $a_{ij} = a_{ji}$.

例如，对于一个 $3$ 阶的实对称矩阵：

$$
\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} a & d & e \\ d & b & f \\ e & f & c \end{matrix} \right)
$$

其对应二次型为：

$$
f \left( x_{1}, x_{2}, x_{3} \right) = a x_{1}^{2} + b x_{2}^{2} + c x_{3}^{2} + 2 d x_{1} x_{2} + 2 e x_{1} x_{3} + 2 f x_{2} x_{3}
$$

如果要进一步求解实对称矩阵对应的二次型的标准型，也就是将二次型转换为只含平方项、不含交叉项的形式，则需要求解出实对称矩阵的特征值 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots, \lambda_{n}$, 此时，该实对称矩阵的二次型的标准型就是：

$$
f = \lambda_{1} y_{1}^{2} + \lambda_{2} y_{2}^{2} + \dots + \lambda_{n} y_{n}^{2}
$$

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