什么是矩阵乘法的“左行右列”的性质？

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过一个特别设计的矩阵 $\begin{bmatrix}
a & d & 0 \\
0 & b & 0 \\
0 & 0 & c
\end{bmatrix}$ 来给同学们讲清楚什么是矩阵乘法中的“左行右列”性质.

二、正文

首先，我们知道，一个矩阵无论是左乘一个单位矩阵，还是右乘一个单位矩阵，都不会让原矩阵产生改变，即：

$$
\begin{aligned}
& \begin{bmatrix}
a & d & 0 \\
0 & b & 0 \\
0 & 0 & c
\end{bmatrix} \textcolor{gray}{ \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} } = \begin{bmatrix}
a & d & 0 \\
0 & b & 0 \\
0 & 0 & c
\end{bmatrix} \\ \\
& \textcolor{gray}{ \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} } \begin{bmatrix}
a & d & 0 \\
0 & b & 0 \\
0 & 0 & c
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
a & d & 0 \\
0 & b & 0 \\
0 & 0 & c
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

所以，将一个矩阵和一个单位矩阵相乘，就像在一张白纸上写字：写的是什么，纸上就会出现什么——

这也就意味着，单位矩阵可以记录我们所作的初等变换. 也就是说，如果认为任何一个矩阵 $\boldsymbol{P}$ 都是从一个对应阶数的单位矩阵 $\boldsymbol{E}$，经过一系列初等变换得到的，那么，我们就可以认为，矩阵 $\boldsymbol{P}$ 实际上记录了我们做过的那些初等变换——有关于此的详细说明，可以查看「荒原之梦考研数学」的《单位矩阵可以用来记录初等变换》这篇文章.

当然，矩阵的初等行变换和初等列变换之间并没有绝对的界限，有时候，一系列初等行变换的结果和一系列初等列变换的结果是一样的，反之亦然. 所以，无论我们以怎么样的方式从单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 得到了矩阵 $\boldsymbol{P}$, 我们都可以说，上面所得到的矩阵 $\boldsymbol{P}$ 既记录了初等行变换操作，也记录了初等列变换操作，换句话说，矩阵 $\boldsymbol{P}$ 既可以“释放出”初等行变换，也可以“释放出”初等列变换.

接着，根据矩阵乘法的“左行右列”性质，我们有：

• 如果我们在一个矩阵 $\boldsymbol{K}$ 的左边乘以矩阵 $\boldsymbol{P}$, 则矩阵 $\boldsymbol{P}$ 就会把自己记录到的初等行变换“释放到”矩阵 $\boldsymbol{K}$ 中；
• 如果我们在一个矩阵 $\boldsymbol{K}$ 的右边乘以矩阵 $\boldsymbol{P}$, 则矩阵 $\boldsymbol{P}$ 就会把自己记录到的初等列变换“释放到”矩阵 $\boldsymbol{K}$ 中.

下面，我们就通过具体的矩阵来验证上面的性质.

假设矩阵 $\boldsymbol{P}$ $=$ $\textcolor{orange}{ \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{bmatrix} }$, 矩阵 $\boldsymbol{K}$ $=$ $\begin{bmatrix}
a & d & 0 \\
0 & b & 0 \\
0 & 0 & c
\end{bmatrix}$, 则：

$$
\begin{align}
& \textcolor{orange}{ \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{bmatrix} } \begin{bmatrix}
a & d & 0 \\
0 & b & 0 \\
0 & 0 & c
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\textcolor{lightgreen}{ 1 \cdot a } & \textcolor{lightgreen}{ 1 \cdot d } & 0 \\
0 & 2 \cdot b & 0 \\
0 & 0 & 3 \cdot c
\end{bmatrix} \tag{1} \\ \notag \\ \notag
& \begin{bmatrix}
a & d & 0 \\
0 & b & 0 \\
0 & 0 & c
\end{bmatrix} \textcolor{orange}{ \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{bmatrix} } = \begin{bmatrix}
1 \cdot a & \textcolor{magenta}{ 2 \cdot d } & 0 \\
0 & \textcolor{magenta}{ 2 \cdot b } & 0 \\
0 & 0 & 3 \cdot c
\end{bmatrix} \tag{2}
\end{align}
$$

Next

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 由于矩阵 $\boldsymbol{P}$ $=$ $\textcolor{orange}{ \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{bmatrix} }$ 可以看作是由单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ $=$ $\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$ 经由第一行乘以 $1$, 第二行乘以 $2$, 第三行乘以 $3$ 的初等行变换得到的，所以，当我们在上面的 $(1)$ 式中，令矩阵 $\boldsymbol{K}$ 左乘矩阵 $\boldsymbol{P}$ 的时候，矩阵 $\boldsymbol{P}$ 就会把自己保存的初等行变换“释放到”矩阵 $\boldsymbol{K}$ 上，从而得到矩阵 $\begin{bmatrix}
\textcolor{lightgreen}{ 1 \cdot a } & \textcolor{lightgreen}{ 1 \cdot d } & 0 \\
0 & 2 \cdot b & 0 \\
0 & 0 & 3 \cdot c
\end{bmatrix}$;

Next

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 由于矩阵 $\boldsymbol{P}$ $=$ $\textcolor{orange}{ \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{bmatrix} }$ 可以看作是由单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ $=$ $\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$ 经由第一列乘以 $1$, 第二列乘以 $2$, 第三列乘以 $3$ 的初等列变换得到的，所以，当我们在上面的 $(1)$ 式中，令矩阵 $\boldsymbol{K}$ 左乘矩阵 $\boldsymbol{P}$ 的时候，矩阵 $\boldsymbol{P}$ 就会把自己保存的初等列变换“释放到”矩阵 $\boldsymbol{K}$ 上，从而得到矩阵 $\begin{bmatrix}
1 \cdot a & \textcolor{magenta}{ 2 \cdot d } & 0 \\
0 & \textcolor{magenta}{ 2 \cdot b } & 0 \\
0 & 0 & 3 \cdot c
\end{bmatrix}$.

当然，上面的矩阵 $\boldsymbol{P}$ 之所以是特别设计的，是为了让同学们更明显得观察到“左行右列”运算的性质，事实上，矩阵乘法的“左行右列”性质在任意可以成立的矩阵乘法中都是适用的.

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