确定函数定义域时的一些常用约束条件

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们总结确定函数定义域时的一些常用约束条件，以及有关“变量表达式”的一些注意事项.

二、正文

无论是对于一元函数，还是多元函数，其所有变量表达式^[1]的定义域都必须同时满足以下条件（或者说，一个函数的定义域，就是所有变量表达式满足以下所有条件时所得取值范围的合集）：

• 分式的分母不能等于零；
• 对数的真数大于零；
• 偶次方根号下的表达式非负（只能是正数或者 $0$）；
• 反正弦函数和反余弦函数中变量表达式^[1]的绝对值一定小于或者等于 $1$：对于反正弦函数 $\arcsin (\square)$ 和反余弦函数 $\arccos (\square)$, 由于变量表达式 $\square \in [-1, 1]$, 所以，一定有 $|\square| \leqslant 1$.

附 [1]: 关于“变量表达式”的解释：

一个函数的自变量不一定是 $x$ 或者 $y$ 这样的单个变量，如 $f(x)$, $\sin x$ 或者 $\ln y$ 这样的，也可能是由变量、数字、运算符号等组成的表达式（单个变量也可以看作一个变量表达式），例如 $f(x^{2})$, $f(x + 2y)$, $\cos \left( \dfrac{1}{x+1} \right)$ 等. 所以，在上文中，我们用 “$\square$” 这个符号表示“变量表达式”，而没有使用特指单个变量的 “$x$” 或者 “$y$” 进行表示.

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