递进式的定义域判断方法

一、题目

求解下面函数的定义域：

$$
f(x) = \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{x}}}
$$

难度评级：

二、解析

本题中的函数 $f(x)$ 存在位于多个层级（嵌套）的自变量，对于这类比较复杂的嵌套式函数的定义域求解问题，我们可以采取递进式的方式，逐步求解：

首先，由于 $\textcolor{orange}{ 1 + \dfrac{1}{ 1 + \dfrac{1}{x}} }$ 位于 $\dfrac{1}{\textcolor{orange}{ 1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{x}}}}$ 的分母上，所以：

$$
\begin{aligned}
& \textcolor{orange}{ 1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{x}} } \neq 0 \\ \\
\leadsto \ & \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{x}} \neq -1 \\ \\
\leadsto \ & 1 + \dfrac{1}{x} \neq -1 \\ \\
\leadsto \ & \dfrac{1}{x} \neq -2 \\ \\
\leadsto \ & \textcolor{lightgreen}{ x \neq \frac{-1}{2} }
\end{aligned}
$$

接着，由于 $\textcolor{magenta}{ 1 + \dfrac{1}{x} }$ 位于 $1 + \dfrac{1}{ \textcolor{magenta}{ 1 + \dfrac{1}{x} }}$ 的分母上，所以：

$$
\begin{aligned}
& \textcolor{magenta}{ 1 + \dfrac{1}{x} } \neq 0 \\ \\
\leadsto \ & \dfrac{1}{x} \neq -1 \\ \\
\leadsto \ & \textcolor{lightgreen}{ x \neq -1 }
\end{aligned}
$$

类似地，由于 $\textcolor{pink}{ x }$ 位于 $\textcolor{pink}{ \dfrac{1}{x} }$ 的分母上，所以：

$$
\textcolor{lightgreen}{x \neq 0}
$$

于是可知：

$$
x \neq 0, \ x \neq -1, x \neq \dfrac{-1}{2} \tag{1}
$$

综上可知，函数 $f(x)$ 的定义域为：

$$
(- \infty, -1) \cup (-1, \dfrac{-1}{2}) \cup (\dfrac{-1}{2}, 0) \cup (0, + \infty) \tag{2}
$$

一般情况下，将函数 $f(x)$ 的定义域写成 $(1)$ 式或者 $(2)$ 式的形式都可以.

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