转置运算和逆运算的桥梁：正交矩阵

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们介绍一类特别的矩阵：正交矩阵.

二、正文

正交矩阵（也被称作“直交矩阵”）. 一个正交矩阵 $\boldsymbol{A}$ 首先需要是一个方阵（行数和列数相等的矩阵），同时，矩阵中的元素都是实数，并且，若下式成立：

$$
\textcolor{lightgreen}{ \boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\top} = \boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{E} } \tag{1}
$$

则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 就被称为正交矩阵.

在本文中，我们用 “$\boldsymbol{A}^{\top}$” 表示矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的正交矩阵——在有的资料中，也会使用 “$\boldsymbol{A}^{T}$” 表示矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的正交矩阵.

由上面的 $(1)$ 式可知，既然有矩阵 $\boldsymbol{A}$ 参与的矩阵乘法运算的结果是单位矩阵 $\boldsymbol{E}$, 并且 $|\boldsymbol{E}| \neq 0$, 所以，一定有：

$$
|\boldsymbol{A}| \neq 0
$$

也就是说，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 一定是可逆矩阵，即：

$$
\textcolor{lightgreen}{ \boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{E} } \tag{2}
$$

于是，结合上面对的 $(1)$ 式和 $(2)$ 式可知：

$$
\textcolor{lightgreen}{ \boldsymbol{A}^{\top} = \boldsymbol{A}^{-1} } \tag{3}
$$

也就是说，如果一个矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是正交矩阵，那么其转置矩阵就是其逆矩阵——正交矩阵是一种可以将转置运算与矩阵逆运算联系起来的特殊矩阵.

除了上面的 $(3)$ 式所表示的性质之外，正交矩阵还具有以下常用的性质：

性 质 1 ：单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 是正交矩阵.

证 明 ：$\boldsymbol{E} \boldsymbol{E}^{\top}$ $=$ $\boldsymbol{E} \boldsymbol{E}$ $=$ $\boldsymbol{E}$

性 质 2 ：两个正交矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 的乘积 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 也是正交矩阵.

证 明 ：$\left( \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \right) \left( \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \right)^{\top}$ $=$ $\boldsymbol{A} \left( \boldsymbol{B} \boldsymbol{B}^{\top} \right) \boldsymbol{A}^{\top}$ $=$ $\boldsymbol{A} \boldsymbol{E} \boldsymbol{A}^{\top}$ $=$ $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\top}$ $=$ $\boldsymbol{E}$.

性 质 3 ：正交矩阵 $\boldsymbol{A}$ 对应的行列式 $|\boldsymbol{A}|$ 一定等于 $1$ 或者 $-1$.

证 明 ：首先，由行列式和转置矩阵的性质，我们知道 $|\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}|$ $=$ $|\boldsymbol{A}| |\boldsymbol{A}|$, $|\boldsymbol{A}|$ $=$ $|\boldsymbol{A}^{\top}|$, 又由正交矩阵的性质可知 $|\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\top}|$ $=$ $|\boldsymbol{E}|$ $=$ $1$, 综合可得 $|\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\top}|$ $=$ $|\boldsymbol{A}| |\boldsymbol{A}^{\top}|$ $=$ $|\boldsymbol{A}| |\boldsymbol{A}|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{2}$ $=$ $1$, 所以 $|\boldsymbol{A}|$ $=$ $1$, 或者 $|\boldsymbol{A}|$ $=$ $-1$.

Next

下面我们来看一些有关正交矩阵的例子.

一 阶 正 交 矩 阵 ：

$$
\begin{bmatrix}
1
\end{bmatrix}, \ \begin{bmatrix}
-1
\end{bmatrix}
$$

二 阶 正 交 矩 阵 ：

$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}, \ \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix}, \ \begin{bmatrix}
0.96 & -0.28 \\
0.28 & 0.96
\end{bmatrix}
$$

三 阶 正 交 矩 阵 ：

$$
\begin{bmatrix}
0 & -0.80 & -0.60 \\
0.80 & -0.36 & 0.48 \\
0.60 & 0.48 & -0.64
\end{bmatrix}
$$

$$
\begin{bmatrix}
\cos(\alpha)\cos(\gamma) – \sin(\alpha)\sin(\beta)\sin(\gamma) & -\sin(\alpha)\cos(\beta) & -\cos(\alpha)\sin(\gamma) – \sin(\alpha)\sin(\beta)\cos(\gamma) \\
\cos(\alpha)\sin(\beta)\sin(\gamma) + \sin(\alpha)\cos(\gamma) & \cos(\alpha)\cos(\beta) & \cos(\alpha)\sin(\beta)\cos(\gamma) – \sin(\alpha)\sin(\gamma) \\
\cos(\beta)\sin(\gamma) & -\sin(\beta) & \cos(\beta)\cos(\gamma)
\end{bmatrix}
$$

四 阶 正 交 矩 阵 ：

$$
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$

---