一阶矩阵的伴随矩阵是多少？

一、前言

矩阵一般都是多阶的，但是，一阶矩阵仍然是存在的. 在本文中，我们就来探讨一下一阶矩阵的伴随矩阵是什么样子的.

二、正文

要讨论一阶矩阵的伴随矩阵，我们首先要讨论一下零阶矩阵对应的行列式的值：

我们知道，任意阶的单位矩阵对应的行列式都是等于 $1$ 的：

$$
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{vmatrix}_{\textcolor{gray}{ 3 \times 3 }} = \begin{vmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{vmatrix}_{\textcolor{gray}{2 \times 2}} = \begin{vmatrix}
1
\end{vmatrix}_{\textcolor{gray}{1 \times 1}} = 1
$$

所以，为了保持数学定理的一致性，数学家们就规定了，零阶的单位矩阵对应的行列式，也等于 $1$, 即：

$$
\textcolor{yellow}{
\begin{vmatrix}
\varnothing
\end{vmatrix}_{\textcolor{gray}{ 0 \times 0}} = 1
} \tag{1}
$$

由于任意一个零阶的矩阵对应的行列式都是 $\begin{vmatrix} \varnothing \end{vmatrix}_{\textcolor{gray}{0 \times 0}}$, 所以，我们可以说，任意一个零阶的矩阵对应的行列式都等于 $1$.

接下来，我们来讨论一下一阶矩阵的伴随矩阵问题. 例如，我们有一阶矩阵为：

$$
\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}
a
\end{bmatrix}
$$

若要求解其伴随矩阵，就要首先求解其余子式，根据余子式的定义，我们将上面矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的第 $1$ 行第 $1$ 列的元素 $a$ 划掉之后，就得到了一个空矩阵，再由上面的 $(1)$ 式可知，空矩阵对应的行列式等于 $1$, 所以，元素 $a$ 的余子式 $\boldsymbol{M}_{11}$ $=$ $1$, 进而可知，元素 $a$ 对应的代数余子式为：

$$
\boldsymbol{A}_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \boldsymbol{M}_{11} = 1
$$

接着，对代数余子式 $\boldsymbol{A}_{11}$ 做转置操作：

$$
\boldsymbol{A}_{11}^{\top} = 1
$$

余子式和代数余子式都是指的某个数字，余子式和代数余子式既不是行列式，也不是矩阵.

于是可知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^{*}$ 为：

$$
\textcolor{lightgreen}{ \boldsymbol{A}^{*} } = \begin{bmatrix} a \end{bmatrix}^{} = \begin{bmatrix}
\boldsymbol{A}_{11}^{\top}
\end{bmatrix} = \textcolor{lightgreen}{ \begin{bmatrix}
1
\end{bmatrix} }
$$

综上可知，任意一个一阶矩阵的伴随矩阵都是矩阵 $\textcolor{lightgreen}{ \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} }$.

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