「荒原之梦考研数学」文章

一、题目

已知，函数 $f(x)$ $=$ $\ln x + \frac{1}{x}$.

(Ⅰ) 求 $f(x)$ 的最小值;

(Ⅱ) 设数列 ${ x_{n} }$ 满足条件 $\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n+1}} < 1$, 请证明 $\lim_{n \rightarrow \infty}x_{n}$ 存在, 并求该极限值.

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一、题目

已知，数列 ${ x_{n} }$ 满足: $x_{1} > 0$, $x_{n}\mathrm{e}^{x_{n+1}}$ $=$ $\mathrm{e}^{x_{n}}-1$, 其中 $n$ $=$ $1, 2, 3, \cdots$.

请证明数列 ${ x_{n} }$ 收敛，并求解 $\lim_{n \rightarrow \infty}x_{n}$.

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一、前言

等价无穷小公式是考研数学中一个非常常用的工具。

但是，这些等价无穷小公式都是怎么来的呢？

如果说 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$ 就意味着 $\lim_{x \rightarrow 0} \alpha(x)$ 和 $\lim_{x \rightarrow 0} \beta(x)$ 是等价无穷小，但是，为什么式子 $\frac{\lim_{x \rightarrow 0} \alpha(x)}{\lim_{x \rightarrow 0} \beta(x)}$ 就等于 $1$ 呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将借助“一点处的斜率”这一概念，为同学讲清楚等价无穷小公式的来龙去脉。当然，同学们也可以借助本文中使用的方法，来推导和记忆等价无穷小公式。

一、题目

已知 $y = \frac{x}{\ln x}$ 是微分方程 $y ^{\prime} = \frac{y}{x} + \phi \left( \frac{x}{y} \right)$ 的唯一解，则函数 $\phi \left(\frac{x}{y}\right)$ 的显式表达式为 $\underline{\quad \quad \quad}$.

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一、前言

在本文中，我们主要来讨论一下对下面这个式子怎么求导：

$$
y = x^{x}
$$

一、前言

在做一些涉及极限的求和题目时，我们会发现，有些解法就是通过将求和转为积分的方式完成的求解。

相关例题：(1)、(2)、(3)、(4)、(5)

那么，为什么极限场景下的求和一般可以表示为积分呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」通过将积分的物理意义从有向的几何量（面积、体积）或者物理意义，更改为“有向权重”的方式，探讨一种更接近积分与求和所蕴含的本质的理解方式，从而理清楚积分与求和之间的关系。

这里的“有向”是指存在“正”和“负”两种值。与传统上对积分有向面积或者有向体积的定义一样，本文中也将位于二维坐标水平轴或者三维坐标水平面上方的“有向权重”定义为“正”，下方的“有向权重”则定义为“负”——当然，“有向”并不是本文讨论的重点，也不是本文所提出的“权重”的必须性质，所以，在本文中接下来阐述“有向权重”的时候，会侧重于讨论“权重”本身。

一、前言

在本文中，我们一起学习极限的加、减、乘、除四则运算法则以及指数运算法则。

一、前言

用求和符号 $\sum$ 表示的求和运算是一种非常基本运算形式。在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过地铁线路的方式，为同学们形象地解释单重求和与双重求和的计算思路。

一、前言

凑微分的目的就是将积分 $\int \Phi(x) \mathrm{~d} x$ 改写成 $\int f(\phi(x)) \mathrm{~d} \phi(x)$ 的形式，即：

$$
\int \textcolor{orange}{\Phi(x)} \mathrm{~d} x = \int f(\textcolor{lightgreen}{\phi(x)}) \mathrm{~d} \textcolor{lightgreen}{\phi(x)}
$$

经过上述变换，就可以将积分变量从 $x$ 拓展成更复杂的 $\phi(x)$, 从而可以在大多数时候达到简化被积函数的作用。

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们汇总了考研数学（高等数学）解题过程中常用的凑微分公式。

一、前言

凑微分是进行积分运算的一个常用方法，但是，对于一些复杂的式子，我们可能难以一眼就看出应该怎么“凑”，这时候该怎么办呢？

一、题目

已知函数 $f \left( u, v \right)$ 满足 $f \left( x + y, \frac{y}{x} \right) = x^{2} – y^{2}$，则：

$$
\begin{aligned}
& \left. \frac{\partial f}{\partial u} \right|_{\substack{u=1 \\ v=1}} = ? \\ \\
& \left. \frac{\partial f}{\partial v} \right|_{\substack{u=1 \\ v=1}} = ?
\end{aligned}
$$

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