1 月 2023 - 第3页共7页

$\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|$ 等于什么？（C010）

问题

根据可逆矩阵的性质，$\textcolor{orange}{\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{?}$

选项

[A]. $\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|$ $=$ $\frac{1}{|\boldsymbol{A^{-1}}|}$

[B]. $\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$

[C]. $\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|$ $=$ $\frac{-1}{|\boldsymbol{A}|}$

[D]. $\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|$ $=$ $\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}$

答案

$\left|\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}^{\textcolor{cyan}{-1}}\right|$ $=$ $\frac{\textcolor{red}{1}}{|\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}|}$

荒原之梦网恭贺新春：2023 癸卯兔年

猛虎辞旧岁，玉兔迎新春！

黄帝纪年第 4720 年的癸卯兔年（2023 年）即将到来，值此新春佳节，荒原之梦网恭祝各位读者朋友们，在新的一年里，学习“兔”飞猛进，事业前“兔”无量，心情“兔”气扬眉，未来大展宏“兔”！

新的一年里，荒原之梦网仍将继续着力于“考研数学”领域原创学习资源的建设，包括数学公式、考研真题和练习题等内容都将更加丰富和完善。此外，荒原之梦网也会对之前发布的一些原创学习资源进行更新优化，进一步提升站内文章的综合质量。与此同时，众人拾柴火焰高，荒原之梦网也在全力规划和打造形式多种多样的交流方式，希望大家踊跃参与其中，贡献自己的智慧和力量，为知识的传承和梦想的实现而努力奋进！

再过几个小时，中国新年的钟声就将敲响，让我们迎着旭日的春风，在神州大地上开拓创新，如腾跃的玉兔一般，奔向光明，迎接胜利！

$\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}\right)^{-1}$ 等于什么？（C010）

问题

根据可逆矩阵的性质，$\textcolor{orange}{\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}\right)^{-1}}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{?}$

选项

[A]. $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{\mathrm{\top}}$

[B]. $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}\right)^{\mathrm{\top}}$

[C]. $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{\top}\right)^{\mathrm{\top}}$

[D]. $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{\mathrm{-1}}$

答案

$\left(\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}^{\mathrm{\textcolor{cyan}{\top}}}\right)^{\textcolor{red}{-1}}$ $=$ $\left(\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}^{\textcolor{red}{-1}}\right)^{\mathrm{\textcolor{cyan}{\top}}}$

若 $\boldsymbol{A}$, 则 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 是否可逆（C010）

问题

根据可逆矩阵的性质，若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的转置矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}}$ 是否可逆？

选项

[A]. 是

[B]. 否

答案

是
若 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 可逆，则 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}^{\mathrm{\textcolor{cyan}{T}}}$ 也可逆

$(\boldsymbol{A B})^{-1}$ 等于什么？（C010）

问题

已知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 均可逆，矩阵 $\boldsymbol{A B}$ 也可逆，则根据可逆矩阵的性质，$\textcolor{orange}{(\boldsymbol{A B})^{-1}}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{?}$

选项

[A]. $(\boldsymbol{A B})^{-1}$ $=$ $-$ $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{A}$

[B]. $(\boldsymbol{A B})^{-1}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{-1}$ $\boldsymbol{B}^{-1}$

[C]. $(\boldsymbol{A B})^{-1}$ $=$ $\boldsymbol{B}^{-1}$ $\boldsymbol{A}^{-1}$

[D]. $(\boldsymbol{A B})^{-1}$ $=$ $(\boldsymbol{B A})^{-1}$

答案

$(\boldsymbol{\textcolor{orange}{A} \textcolor{cyan}{B}})^{\textcolor{red}{-1}}$ $=$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}^{\textcolor{red}{-1}}$ $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}^{\textcolor{red}{-1}}$

若 $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{B}$ 可逆，则 $\boldsymbol{A B}$ 是否可逆？（C010）

问题

根据可逆矩阵的性质，若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 均可逆，则矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A B}}$ 是否可逆？

选项

[A]. 是

[B]. 否

答案

是
若 $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{B}$ 可逆，则 $\boldsymbol{A B}$ 也可逆

$\boldsymbol{A}^{-1}$ 与 $(k \boldsymbol{A})^{-1}$ 的关系（C010）

问题

已知 $k$ 为常数，且 $k$ $\neq$ $0$, 则根据可逆矩阵的性质，$\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}^{-1}}$ 与 $\textcolor{orange}{(k \boldsymbol{A})^{-1}}$ 之间有着怎样的关系？

选项

[A]. $(k \boldsymbol{A})^{-1}$ $=$ $k$ $\boldsymbol{A}^{-1}$

[B]. $(k \boldsymbol{A})^{-1}$ $=$ $\frac{1}{k}$ $\boldsymbol{A}^{-1}$

[C]. $(k \boldsymbol{A})^{-1}$ $=$ $\frac{-1}{k}$ $\boldsymbol{A}^{-1}$

[D]. $(k \boldsymbol{A})^{-1}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{-1}$

答案

$(\textcolor{orange}{k} \boldsymbol{\textcolor{cyan}{A}})^{\textcolor{red}{-1}}$ $=$ $\textcolor{orange}{\frac{1}{k}}$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{A}}^{\textcolor{red}{-1}}$

若 $\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $k \boldsymbol{A}$ 是否可逆？（C010）

问题

已知 $k$ 为常数且 $k$ $\neq$ $0$, 则根据可逆矩阵的性质，若 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ 可逆，则 $\textcolor{orange}{k \boldsymbol{A}}$ 是否可逆？

选项

[A]. 否

[B]. 是

答案

是
若 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ 可逆，则 $\textcolor{orange}{k \boldsymbol{A}}$ 也可逆

$\boldsymbol{A}^{-1}$ 和 $\boldsymbol{A}$ 的关系（C010）

问题

根据可逆矩阵的性质，$\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}^{-1}}$ 和 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ 之间存在怎样的关系？

选项

[A]. $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{-1}$ $=$ $- \boldsymbol{A}$

[B]. $\boldsymbol{A}^{-1}$ $=$ $\boldsymbol{A}$

[C]. $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{-1}$ $\neq$ $\boldsymbol{A}$

[D]. $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{-1}$ $=$ $\boldsymbol{A}$

答案

$\left(\boldsymbol{\textcolor{yellow}{A}}^{\textcolor{orange}{-1}}\right)^{\textcolor{cyan}{-1}}$ $\textcolor{red}{=}$ $\boldsymbol{\textcolor{yellow}{A}}$

若 $\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $\boldsymbol{A^{-1}}$ 是否可逆？（C010）

问题

根据可逆矩阵的性质，若 $\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A^{-1}}}$ 是否可逆？

选项

[A]. 是

[B]. 否

答案

是
若 $\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵 $\boldsymbol{A^{-1}}$ 也可逆

$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆的充要条件：$\boldsymbol{A}$ 的特征值（C010）

问题

已知，$\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，则当 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ 的特征值满足如下哪个条件时，可以判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆？

选项

[A]. $\boldsymbol{A}$ 的特征值全为负数

[B]. $\boldsymbol{A}$ 的特征值中不含有数字 $0$

[C]. $\boldsymbol{A}$ 的特征值中含有数字 $1$

[D]. $\boldsymbol{A}$ 的特征值中含有数字 $0$

答案

$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆 $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A}$ 的特征值中含有数字 $0$

$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆的充要条件：$\boldsymbol{A}$ 的向量组（C010）

问题

已知，$\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，则当 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ 的向量组满足如下哪个条件时，可以判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆？

选项

[A]. $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性无关，行向量线性相关

[B]. $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性相关，行向量线性无关

[C]. $\boldsymbol{A}$ 的列（行）向量组线性无关

[D]. $\boldsymbol{A}$ 的列（行）向量组线性相关

答案

$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆 $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A}$ 的列（行）向量组线性相关

$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆的充要条件：$\boldsymbol{A x}$ $=$ $\mathbf{0}$（C010）

问题

已知，$\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，则当 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A x}}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{\mathbf{0}}$ 满足如下哪个条件时，可以判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆？

选项

[A]. $\boldsymbol{A x}$ $=$ $\mathbf{0}$ 只有零解

[B]. $\boldsymbol{A x}$ $=$ $\mathbf{0}$ 有零解

[C]. $\boldsymbol{A x}$ $=$ $\mathbf{0}$ 有非零解

[D]. $\boldsymbol{A x}$ $=$ $\mathbf{0}$ 无解

答案

$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆 $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A x}$ $=$ $\mathbf{0}$ 有非零解