1 月 2023 - 第2页共7页

第一种初等矩阵的表示方法（C011）

问题

将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $i$ 行元素 $\textcolor{orange}{r_{i}}$ 与第 $j$ 行元素 $\textcolor{orange}{r_{j}}$ 做一次交换或者将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $i$ 列元素 $\textcolor{orange}{c_{i}}$ 与第 $j$ 列元素 $\textcolor{orange}{c_{j}}$ 做一次交换，所得的矩阵被称为第一种初等矩阵。
根据惯例，以下对第一种初等矩阵的符号表示中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\boldsymbol{E}_{i j}$

[B]. $\boldsymbol{E}_{i j}(k)$

[C]. $\boldsymbol{E}_{j}$

[D]. $\boldsymbol{E}_{i}$

答案

$\boldsymbol{E}$ 作变换 $r_{\textcolor{orange}{i}}$ $\leftrightarrow$ $r_{\textcolor{cyan}{j}}$（或 $c_{\textcolor{orange}{i}}$ $\leftrightarrow$ $c_{\textcolor{cyan}{j}}$），得初等矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{red}{E}}_{\textcolor{orange}{i} \textcolor{cyan}{j}}$

什么是初等矩阵？（C011）

问题

已知，$\boldsymbol{E}$ 为单位矩阵，则以下关于初等矩阵的说法中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\boldsymbol{E}$ 经过任意次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

[B]. $\boldsymbol{E}$ 经过一次初等行变换和一次初等列变换得到的矩阵称为初等矩阵

[C]. $\boldsymbol{E}$ 经过两次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

[D]. $\boldsymbol{E}$ 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

答案

$\boldsymbol{E}$ 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

初等行变换和初等列变换（C011）

问题

根据矩阵初等变换的定义，以下说法中正确的是哪个？

选项

[A]. 只有初等行变换是初等变换

[B]. 初等行变换和初等列变换都是初等变换

[C]. 同时进行初等行变换和初等列变换才是初等变换

[D]. 只有初等列变换是初等变换

答案

初等行变换和初等列变换都是初等变换

矩阵的第三种初等变换（C011）

问题

根据矩阵初等变换的定义，把矩阵中某一行或列的所有元素的常数 $k$ 倍加到该矩阵的另一行或列上，是否是一种初等变换？

选项

[A]. 是

[B]. 不是

答案

是

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矩阵的第二种初等变换（C011）

问题

根据矩阵初等变换的定义，用非零常数 $k$ 乘以矩阵中某一行或者某一列的所有元素，是否是一种初等变换？

选项

[A]. 是

[B]. 不是

答案

是

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矩阵的第一种初等变换（C011）

问题

根据矩阵初等变换的定义，对调矩阵的两行或者两列，是否是一种初等变换？

选项

[A]. 不是

[B]. 是

答案

是

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计算微分方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $2 m y^{\prime}$ $+$ $n^{2} y$ $=$ $0$ 满足一定条件特解的无穷限反常积分

一、题目

设 $y$ $=$ $y(x)$ 是二阶常系数线性微分方程 $\textcolor{orange}{y^{\prime \prime}}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{2 m y^{\prime}}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{n^{2} y}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{0}$ 满足 $\textcolor{orange}{y(0)}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{a}$ 与 $\textcolor{orange}{y^{\prime}(0)}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{b}$ 的特解，其中 $m$ 和 $n$ 为常数，且 $\textcolor{orange}{m}$ $\textcolor{orange}{>}$ $\textcolor{orange}{n}$ $\textcolor{orange}{>}$ $\textcolor{orange}{0}$, 则 $\textcolor{orange}{\int_{0}^{+ \infty}}$ $\textcolor{orange}{y(x)}$ $\textcolor{orange}{\mathrm{d} x}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{?}$

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分块矩阵求逆法：下三角形式（C010）

问题

已知，$\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$, $\boldsymbol{\textcolor{orange}{B}}$ 和 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{C}}$ 是元素非全为零的方阵，$\boldsymbol{\textcolor{orange}{O}}$ 是元素全为零的方阵
则，根据可逆矩阵的性质，$\textcolor{orange}{\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{?}$

选项

[A]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \\ -\boldsymbol{B} \boldsymbol{C}^{-1} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{array}\right)$

[B]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{C} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{array}\right)$

[C]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \\ -\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{C} \boldsymbol{B}^{-1} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{array}\right)$

[D]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \\ -\boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{C} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{array}\right)$

答案

$\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{\textcolor{yellow}{C}} & \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}} \end{array}\right)^{\textcolor{red}{-1}}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}^{\textcolor{red}{-1}} & \boldsymbol{O} \\ \textcolor{red}{-}\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}^{\textcolor{red}{-1}} \boldsymbol{\textcolor{yellow}{C}} \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}^{\textcolor{red}{-1}} & \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}^{\textcolor{red}{-1}} \end{array}\right)$

分块矩阵求逆法：上三角形式（C010）

问题

已知，$\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$, $\boldsymbol{\textcolor{orange}{B}}$ 和 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{C}}$ 是元素非全为零的方阵，$\boldsymbol{\textcolor{orange}{O}}$ 是元素全为零的方阵
则，根据可逆矩阵的性质，$\textcolor{orange}{\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{?}$

选项

[A]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{C} \boldsymbol{B}^{-1} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{array}\right)$

[B]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & -\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{C} \boldsymbol{B}^{-1} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)$

[C]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A}^{-1} & -\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{C} \boldsymbol{B}^{-1} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{array}\right)$

[D]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A}^{-1} & -\boldsymbol{A} \boldsymbol{C}^{-1} \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{array}\right)$

答案

$\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}} & \boldsymbol{\textcolor{yellow}{C}} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}} \end{array}\right)^{\textcolor{red}{-1}}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}^{-1} & \textcolor{red}{-}\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}^{\textcolor{red}{-1}} \boldsymbol{\textcolor{yellow}{C}} \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}^{\textcolor{red}{-1}} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}^{-1} \end{array}\right)$

分块矩阵求逆法：副对角线形式（C010）

问题

已知，$\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 和 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{B}}$ 是元素非全为零的方阵，$\boldsymbol{\textcolor{orange}{O}}$ 是元素全为零的方阵
则，根据可逆矩阵的性质，$\textcolor{orange}{\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{array}\right)^{-1}}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{?}$

选项

[A]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{\top} \\ \boldsymbol{A}^{\top} & \boldsymbol{O} \end{array}\right)$

[B]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \\ \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \end{array}\right)$

[C]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{B}^{-1} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A}^{-1} \end{array}\right)$

[D]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A^{-1}} \\ \boldsymbol{B^{-1}} & \boldsymbol{O} \end{array}\right)$

答案

$\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}} \\ \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}} & \boldsymbol{O} \end{array}\right)^{\textcolor{red}{-1}}$ $=$ $\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}^{\textcolor{red}{-1}} \\ \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}^{\textcolor{red}{-1}} & \boldsymbol{O} \end{array}\right)$

分块矩阵求逆法：主对角线形式（C010）

问题

已知，$\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 和 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{B}}$ 是元素非全为零的方阵，$\boldsymbol{\textcolor{orange}{O}}$ 是元素全为零的方阵
则，根据可逆矩阵的性质，$\textcolor{orange}{\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right)^{-1}}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{?}$

选项

[A]. $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll}-\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & -\boldsymbol{B}\end{array}\right)$

[B]. $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1}\end{array}\right)$

[C]. $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A}^{-1} \\ \boldsymbol{B}^{-1} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$

[D]. $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{B}^{-1} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A}^{-1}\end{array}\right)$

答案

$\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}\end{array}\right)^{\textcolor{red}{-1}}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}^{\textcolor{red}{-1}} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}^{\textcolor{red}{-1}}\end{array}\right)$

用初等变换法求逆矩阵（C010）

问题

已知，$\boldsymbol{E}$ 为单位矩阵，则根据可逆矩阵的性质，以下利用初等变换法求逆矩阵的方法表述中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{E}\end{array}\right)$ $\stackrel{\text {初等行变换}}{\longrightarrow}$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{E}\end{array}\right)$

[B]. $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{E}\end{array}\right)$ $\stackrel{\text {初等行变换}}{\longrightarrow}$ $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{E} & – \boldsymbol{A}^{-1}\end{array}\right)$

[C]. $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{E}\end{array}\right)$ $\stackrel{\text {初等列变换}}{\longrightarrow}$ $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{E} & \boldsymbol{A}^{-1}\end{array}\right)$

[D]. $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{E}\end{array}\right)$ $\stackrel{\text {初等行变换}}{\longrightarrow}$ $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{E} & \boldsymbol{A}^{-1}\end{array}\right)$

答案

$\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}} & \boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}\end{array}\right)$ $\stackrel{\text {初等 [行] 变换}}{\longrightarrow}$ $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}} & \textcolor{yellow}{\boldsymbol{A}^{-1}}\end{array}\right)$

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用伴随矩阵法求逆矩阵（C010）

问题

已知 $\boldsymbol{A}^{*}$ 为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，则根据可逆矩阵的性质，$\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}^{-1}}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{?}$

选项

[A]. $\boldsymbol{A}^{-1}$ $=$ $\frac{-1}{|\boldsymbol{A}|}$ $\boldsymbol{A}^{*}$

[B]. $\boldsymbol{A}^{-1}$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$ $\boldsymbol{A}^{*}$

[C]. $\boldsymbol{A}^{-1}$ $=$ $\frac{1}{|\boldsymbol{A}^{*}|}$ $\boldsymbol{A}$

[D]. $\boldsymbol{A}^{-1}$ $=$ $\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}$ $\boldsymbol{A}^{*}$

答案

$\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}^{-1}}$ $=$ $\frac{\textcolor{cyan}{1}}{\textcolor{green}{|\boldsymbol{A}|}}$ $\textcolor{red}{\boldsymbol{A}^{*}}$

用定义法求逆矩阵（C010）

问题

已知，$\boldsymbol{E}$ 为单位矩阵，则根据可逆矩阵的性质，若 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{A B}}$ $\textcolor{cyan}{=}$ $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{E}}$, 则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}^{-1}}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{?}$

选项

[A]. $\boldsymbol{A}^{-1}$ $=$ $\boldsymbol{B}$

[B]. $\boldsymbol{A}^{-1}$ $=$ $\boldsymbol{B B^{-1}}$

[C]. $\boldsymbol{A}^{-1}$ $=$ $- \boldsymbol{B}$

[D]. $\boldsymbol{A}^{-1}$ $=$ $\boldsymbol{B^{-1}}$

答案

$\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}^{-1}}$ $=$ $\textcolor{red}{\boldsymbol{B}}$

$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}$ 是否等于 $\boldsymbol{A}^{-1}$ $+$ $\boldsymbol{B}^{-1}$ ？（C010）

问题

根据可逆矩阵的性质，一般情况下，$\textcolor{orange}{(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}}$ 是否等于 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}^{-1}}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{B}^{-1}}$ $?$

选项

[A]. $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}$ $\neq$ $\boldsymbol{A}^{-1}$ $+$ $\boldsymbol{B}^{-1}$

[B]. $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{-1}$ $+$ $\boldsymbol{B}^{-1}$

答案

$(\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}+\boldsymbol{\textcolor{orange}{B}})^{\textcolor{cyan}{-1}}$ $\textcolor{red}{\neq}$ $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}^{\textcolor{cyan}{-1}}$ $+$ $\boldsymbol{\textcolor{orange}{B}}^{\textcolor{cyan}{-1}}$