月度归档： 2022 年 9 月

$\overrightarrow{a}$ $\times$ $\overrightarrow{b}$ $=$

$\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ x_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\end{array}\right|$ $=$

$\left|\begin{array}{cc}{y}_1& z_1\\ y_2& z_2\end{array}\right|\mathbf{i}$ $-$ $\left|\begin{array}{cc}{x}_1& z_1\\ x_2& z_2\end{array}\right|\mathbf{j}$ $+$ $\left|\begin{array}{cc}{x}_1& y_1\\ x_2& y_2\end{array}\right|\mathbf{k}$

$\overrightarrow{a}$ $\times$ $\overrightarrow{b}$ $=$ $(x_1\cdot x_2)\mathbf{i}$ $+$ $(y_1\cdot y_2)\mathbf{j}$

若以下三个条件全部满足：

Ⅰ. $|\overrightarrow{c}|$ $=$ $|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cdot \sin \theta$;
Ⅱ. $\overrightarrow{c}$ $\perp$ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{c}$ $\perp$ $\overrightarrow{b}$（即 $\overrightarrow{c}$ 垂直于 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 所形成的平面）；
Ⅲ. $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ 成右手系.

则称向量 $\overrightarrow{c}$ 为向量 $\overrightarrow{a}$ 和向量 $\overrightarrow{b}$ 的向量积.

$\overrightarrow{a}$ $\cdot$ $\overrightarrow{b}$ $=$ $|\overrightarrow{a}|$ $\cdot$ $|\overrightarrow{b}|$ $\cdot$ $\cos \theta$

$\overrightarrow{a}$ $\cdot$ $\overrightarrow{b}$ $=$ $x_1{x}_2$ $+$ $y_1{y}_2$ $+$ $z_1{z}_2$

$\lambda$ $\cdot$ $\overrightarrow{a}$ $=$ $($ $\lambda \cdot x$, $\lambda \cdot y$, $\lambda \cdot z$ $)$

$\overrightarrow{a}$ $-$ $\overrightarrow{b}$ $=$ $($ $x_1-x_2$, $y_1-y_2$, $z_1-z_2$ $)$

$\overrightarrow{a}$ $+$ $\overrightarrow{b}$ $=$ $($ $x_1+x_2$, $y_1+y_2$, $z_1+z_2$ $)$

$\overrightarrow{M_1{M}_2}$ $=$ $($ $x_2-x_1$, $y_2-y_1$, $z_2-z_1$ $)$

$\cos \gamma$ $=$ $\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$

$\cos \beta$ $=$ $\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$

$\cos \alpha$ $=$ $\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$

向量 $\overrightarrow{a}$ 单位向量的坐标为：

$\frac{\overrightarrow{a}}{\overrightarrow{|a|}}$ $=$ $($ $\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$, $\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$, $\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ $)$

$\overrightarrow{|a|}$ $=$ $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

向量的模就是向量的长度：

向量 $\overrightarrow{AB}$ 的长度就是向量 $\overrightarrow{AB}$ 的模，记作：

$\overrightarrow{|AB|}$.

有时候，我们也称向量 $\overrightarrow{AB}$ 的模为向量 $\overrightarrow{AB}$ 的大小.

$a$ $=$ $xi$ $+$ $yj$ $+$ $zk$