一、题目描述
$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{(1+\frac{1}{x})^{x^{2}}}{e^{x}} = ?
$$
分类： 考研数学
第一类无穷限的反常积分：$\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$（B007）
问题
以下关于无穷限的反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{+\infty}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？选项
[A]. $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$[B]. $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{a \rightarrow + \infty}$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$
[C]. $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{b \rightarrow + \infty}$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$
[D]. $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{b \rightarrow \infty}$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$
$$\int_{\textcolor{Red}{a}}^{\textcolor{Red}{+\infty}} f(x) \mathrm{d} x =$$ $$\lim_{\textcolor{Orange}{b} \textcolor{Green}{\rightarrow} \textcolor{Orange}{+ \infty}} \int_{\textcolor{Red}{a}}^{\textcolor{Red}{b}} f(x) \mathrm{d} x.$$
反常积分 $\int_{-1}^{1}$ $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ 的计算方法
一、题目分析
因为对于 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 而言，必须有 $x$ $\neq$ $0$, 于是，在区间 $[-1, 1]$ 内，定积分 $\int_{-1}^{1}$ $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ 其实是一个瑕积分，瑕点就是 $x$ $=$ $0$, 由于在真正进行积分运算的时候，被积函数不能包含瑕点，所以，我们必须在 $x$ $=$ $0$ 处对原积分进行“分割”。
二、示意图像
函数 $y$ $=$ $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ 的示意图像如下：
![反常积分 $\int_{-1}^{1}$ $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ 的计算方法 | 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2022/08/21/ecb607749afd38b880dac321140265afe20bbadf945dcda7607048c256a5a3e8.svg)
反常积分 $\int_{0}^{\infty}$ $\frac{1}{(1 + x)\sqrt{x}}$ $\mathrm{d} x$ 的计算方法
一、题目分析
直接来看，这是一个上限趋于无穷的的反常积分，但其实，由于被积函数中的 $\sqrt{x}$ 必须有 $x$ $>$ $0$, 因此，该反常积分的下限也需要通过取极限的方式才能在计算中使用：
我们可以引入两个变量 $s$ 和 $t$, 并使 $s$ $\rightarrow$ $0^{+}$, $t$ $\rightarrow$ $\infty$, 以此来代替该反常积分原来的上限和下限。
同时，由于 $1$ 具有 $1^{2}$ $=$ $1$ 等特殊性质，因此，我们将 $1$ 作为分割区间 $[0, \infty]$ 的一个中间点。
继续阅读“反常积分 $\int_{0}^{\infty}$ $\frac{1}{(1 + x)\sqrt{x}}$ $\mathrm{d} x$ 的计算方法”定积分的特殊分部积分公式（B007）
问题
若函数 $\textcolor{Orange}{u(x)}$ 在区间 $[a, b]$ 上连续且具有导函数 $\textcolor{Orange}{u ^{\prime}(x)}$, 则以下关于定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{u(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？选项
[A]. $\int_{a}^{b}$ $u(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $x$ $u(x)$ $|_{a}^{b}$ $+$ $\int_{a}^{b}$ $x$ $u ^{\prime} (x)$ $\mathrm{d} x$[B]. $\int_{a}^{b}$ $u(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $x$ $u(x)$ $|_{a}^{b}$ $-$ $\int_{a}^{b}$ $x$ $u (x)$ $\mathrm{d} x$
[C]. $\int_{a}^{b}$ $u(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $x$ $u(x)$ $|_{a}^{b}$ $-$ $\int_{a}^{b}$ $x$ $u ^{\prime} (x)$ $\mathrm{d} x$
[D]. $\int_{a}^{b}$ $u(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $x$ $u(x)$ $|_{a}^{b}$ $+$ $\int_{a}^{b}$ $x ^{\prime}$ $u (x)$ $\mathrm{d} x$
$$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}} \textcolor{Red}{u}(x) \mathrm{d} x =$$ $$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}} \textcolor{Red}{u}(x) \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Red}{x} ^{\textcolor{Yellow}{\prime}} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{x} \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Red}{u}(x) \Bigg|_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}}$$ $$\textcolor{Green}{-}$$ $$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}} \textcolor{Red}{x} \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Red}{u} ^{\textcolor{Yellow}{\prime}} (x) \mathrm{d} x.$$
定积分的广义分部积分公式（B007）
问题
若函数 $\textcolor{Orange}{F(x)}$ 和 $\textcolor{Orange}{M(x)}$ 在区间 $[a, b]$ 上具有连续的导函数 $\textcolor{Orange}{F ^{\prime}(x)}$ 和 $\textcolor{Orange}{M ^{\prime}(x)}$, 则以下关于定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{F(x)}$ $\textcolor{Orange}{M ^{\prime}(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？选项
[A]. $\int_{a}^{b}$ $F(x)$ $M ^{\prime}(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $F ^{\prime}(x)$ $M ^{\prime}(x)$ $|_{a}^{b}$ $-$ $\int_{a}^{b}$ $F ^{\prime}(x)$ $M(x)$ $\mathrm{d} x$[B]. $\int_{a}^{b}$ $F(x)$ $M ^{\prime}(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $F(x)$ $M(x)$ $|_{a}^{b}$ $-$ $\int_{a}^{b}$ $F(x)$ $M ^{\prime}(x)$ $\mathrm{d} x$
[C]. $\int_{a}^{b}$ $F(x)$ $M ^{\prime}(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $F(x)$ $M(x)$ $|_{a}^{b}$ $-$ $\int_{a}^{b}$ $F ^{\prime}(x)$ $M(x)$ $\mathrm{d} x$
[D]. $\int_{a}^{b}$ $F(x)$ $M ^{\prime}(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $F(x)$ $M(x)$ $|_{a}^{b}$ $+$ $\int_{a}^{b}$ $F ^{\prime}(x)$ $M(x)$ $\mathrm{d} x$
$$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}} \Bigg[ \textcolor{Red}{F}(x) \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Red}{M} ^{\textcolor{Yellow}{\prime}}(x) \Bigg] \mathrm{d} x =$$ $$\Bigg[ \textcolor{Red}{F}(x) \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Red}{M}(x) \Bigg] \Bigg|_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}}$$ $$\textcolor{Green}{-}$$ $$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}} \Bigg[ \textcolor{Red}{F} ^{\textcolor{Yellow}{\prime}}(x) \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Red}{M}(x) \Bigg] \mathrm{d} x.$$
定积分的换元法（B007）
问题
若函数 $\textcolor{Orange}{f(x)}$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且函数 $\textcolor{Orange}{x}$ $\textcolor{Orange}{=}$ $\textcolor{Orange}{\phi(t)}$ 满足如下两个条件：一、函数 $\phi ^{\prime} (t)$ 在区间 $[\alpha, \beta]$ 上连续，且 $\phi ^{\prime} (t)$ $\neq$ $0$;
二、函数 $\phi(\alpha)$ $=$ $a$, $\phi(\beta)$ $=$ $b$, 并且，当 $t$ 在区间 $[\alpha, \beta]$ 上变化时，$\phi(t)$ 的值在区间 $[a, b]$ 上变化。
则：以下使用函数 $\textcolor{Orange}{\phi(t)}$ 对定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 进行换元的选项中，正确的是哪个？
选项
[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f[\phi(t)]$ $\phi (t)$ $\mathrm{d} t$[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f[\phi(t)]$ $\phi ^{\prime} (t)$ $\mathrm{d} t$
[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{\alpha}^{\beta}$ $f[\phi(t)]$ $\phi (t)$ $\mathrm{d} t$
[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{\alpha}^{\beta}$ $f[\phi(t)]$ $\phi ^{\prime} (t)$ $\mathrm{d} t$
$$\int_{\textcolor{Yellow}{a}}^{\textcolor{Yellow}{b}} \textcolor{Red}{f}(\textcolor{Red}{x}) \mathrm{d} x =$$ $$\int_{\textcolor{Yellow}{\alpha}}^{\textcolor{Yellow}{\beta}} \textcolor{Red}{f} [\textcolor{Red}{\phi}(\textcolor{Red}{t})] \mathrm{d} [\textcolor{Red}{\phi} (\textcolor{Red}{t})] =$$ $$\int_{\textcolor{Yellow}{\alpha}}^{\textcolor{Yellow}{\beta}} \textcolor{Red}{f} [\textcolor{Red}{\phi}(\textcolor{Red}{t})] \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Red}{\phi} ^{\textcolor{Orange}{\prime}} (\textcolor{Red}{t}) \mathrm{d} t.$$注意：对定积分的换元，不仅要更换自变量 $x$, 还要对应的更换积分上下限.
华里士点火公式（奇数）（B007）
问题
当定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}}$ $\textcolor{Orange}{\sin} ^{\textcolor{Red}{n}} \textcolor{Orange}{x}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 和 $\textcolor{Orange}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}}$ $\textcolor{Orange}{\cos} ^{\textcolor{Red}{n}} \textcolor{Orange}{x}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 中的 $\textcolor{Red}{n}$ 为大于 $\textcolor{Orange}{1}$ 的 [奇数] 时，以下关于 [华里士点火公式] 的选项中，正确的是哪个？选项
[A]. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\sin ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\cos ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{n-1}{n}$ $\cdot$ $\frac{n-2}{n-1}$ $\cdots$ $\frac{2}{3}$ $\cdot$ $1$[B]. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\sin ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\cos ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{n-1}{n}$ $\cdot$ $\frac{n-3}{n-2}$ $\cdots$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $1$
[C]. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\sin ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\cos ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{n-1}{n}$ $\cdot$ $\frac{n-3}{n-2}$ $\cdots$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $\frac{\pi}{2}$
[D]. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\sin ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\cos ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{n-1}{n}$ $\cdot$ $\frac{n-3}{n-2}$ $\cdots$ $\frac{2}{3}$ $\cdot$ $1$
$$\int_{\textcolor{Orange}{0}}^{\textcolor{Orange}{\frac{\pi}{2}}} \textcolor{Yellow}{\sin} ^{\textcolor{Red}{n}} \textcolor{Yellow}{x} \mathrm{d} x =$$ $$\int_{\textcolor{Orange}{0}}^{\textcolor{Orange}{\frac{\pi}{2}}} \textcolor{Yellow}{\cos} ^{\textcolor{Red}{n}} \textcolor{Yellow}{x} \mathrm{d} x =$$ $$\frac{\textcolor{Red}{n-1}}{\textcolor{Red}{n}} \cdot \frac{\textcolor{Red}{n-3}}{\textcolor{Red}{n-2}} \cdots \frac{\textcolor{Red}{2}}{\textcolor{Red}{3}} \cdot \textcolor{Red}{1}.$$
华里士点火公式（偶数）（B007）
问题
当定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}}$ $\textcolor{Orange}{\sin} ^{\textcolor{Red}{n}} \textcolor{Orange}{x}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 和 $\textcolor{Orange}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}}$ $\textcolor{Orange}{\cos} ^{\textcolor{Red}{n}} \textcolor{Orange}{x}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 中的 $\textcolor{Red}{n}$ 为大于 $\textcolor{Orange}{1}$ 的 [偶数] 时，以下关于 [华里士点火公式] 的选项中，正确的是哪个？选项
[A]. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\sin ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\cos ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{n-1}{n}$ $\cdot$ $\frac{n-3}{n-2}$ $\cdots$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $1$[B]. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\sin ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\cos ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{n-1}{n}$ $\cdot$ $\frac{n-3}{n-2}$ $\cdots$ $\frac{2}{3}$ $\cdot$ $1$
[C]. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\sin ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\cos ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{n-1}{n}$ $\cdot$ $\frac{n-3}{n-2}$ $\cdots$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $\frac{\pi}{2}$
[D]. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\sin ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\cos ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{n-1}{n}$ $\cdot$ $\frac{n-2}{n-1}$ $\cdots$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $\frac{\pi}{2}$
$$\int_{\textcolor{Orange}{0}}^{\textcolor{Orange}{\frac{\pi}{2}}} \textcolor{Yellow}{\sin} ^{\textcolor{Red}{n}} \textcolor{Yellow}{x} \mathrm{d} x =$$ $$\int_{\textcolor{Orange}{0}}^{\textcolor{Orange}{\frac{\pi}{2}}} \textcolor{Yellow}{\cos} ^{\textcolor{Red}{n}} \textcolor{Yellow}{x} \mathrm{d} x =$$ $$\frac{\textcolor{Red}{n-1}}{\textcolor{Red}{n}} \cdot \frac{\textcolor{Red}{n-3}}{\textcolor{Red}{n-2}} \cdots \frac{\textcolor{Red}{1}}{\textcolor{Red}{2}} \cdot \frac{\textcolor{Red}{\pi}}{\textcolor{Red}{2}}.$$
周期函数的定积分性质（B007）
问题
若函数 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的连续 [周期函数]，$a$ 为任意实数，则下面关于定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{a + T}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？选项
[A]. $\int_{a}^{a + T}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{0}^{-T}$ $f(x)$ $\mathrel{d} x$[B]. $\int_{a}^{a + T}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{-T}^{T}$ $f(x)$ $\mathrel{d} x$
[C]. $\int_{a}^{a + T}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{T}$ $f(x)$ $\mathrel{d} x$
[D]. $\int_{a}^{a + T}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{0}^{T}$ $f(x)$ $\mathrel{d} x$
$$\int_{\textcolor{Red}{a}}^{\textcolor{Red}{a + T}} f(x) \mathrm{d} x =$$ $$\int_{\textcolor{Red}{0}}^{\textcolor{Red}{T}} f(x) \mathrel{d} x =$$ $$\int_{\textcolor{Red}{-\frac{T}{2}}}^{\textcolor{Red}{\frac{T}{2}}} f(x) \mathrel{d} x.$$ 注意：对于被积函数是同一个周期函数的定积分而言，只要上限与下限的差值相等，则这两个定积分就是相等的.
此外：
$$\int_{\textcolor{Red}{0}}^{\textcolor{Red}{a \cdot T}} f(x) \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Orange}{a} \textcolor{Green}{\cdot} \int_{\textcolor{Red}{0}}^{\textcolor{Red}{T}} f(x) \mathrm{d} x.$$
如何判断定积分中的被积函数是否为偶函数（B007）
问题
设函数 $f(x)$ 在区间 $[-a, a]$ 上连续，则以下哪个选项可以说明定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{-a}^{a}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 中的被积函数 $\textcolor{Orange}{f(x)}$ 为 [偶函数]？选项
[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $2 \int_{0}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$[B]. $\int_{-a}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\neq$ $2 \int_{0}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$
[C]. $\int_{-a}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $2 \int_{0}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$
[D]. $\int_{-a}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{2} \int_{0}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$
若：$$\int_{\textcolor{Red}{-a}}^{\textcolor{Red}{a}} f(x) \mathrm{d} x = \textcolor{Orange}{2} \int_{\textcolor{Orange}{0}}^{\textcolor{Orange}{a}} f(x) \mathrm{d} x$$则被积函数 $f(x)$ 为偶函数.
注意：积分区间 $[-a, a]$ 是关于原点对称的.
如何判断定积分中的被积函数是否为奇函数（B007）
问题
设函数 $f(x)$ 在区间 $[-a, a]$ 上连续，则以下哪个选项可以说明定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{-a}^{a}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 中的被积函数 $\textcolor{Orange}{f(x)}$ 为 [奇函数]？选项
[A]. $\int_{-a}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\neq$ $0$[B]. $\int_{-a}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $0$
[C]. $\int_{-a}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $1$
[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $0$
若：$$\int_{\textcolor{Red}{-a}}^{\textcolor{Red}{a}} f(x) \mathrm{d} x = \textcolor{Orange}{0}$$则被积函数 $f(x)$ 为奇函数.
注意：积分区间 $[-a, a]$ 是关于原点对称的.
牛顿-莱布尼兹公式（B007）
问题
设函数 $\textcolor{Orange}{f(x)}$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，函数 $\textcolor{Orange}{F(x)}$ 是函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的一个原函数，则以下关于定积分 $\textcolor{Orange}{\int _{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？选项
[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $F(a)$ $-$ $F(b)$[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $F(b)$ $+$ $F(a)$
[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $F(b)$ $-$ $F(a)$
[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $F(a)$ $+$ $F(b)$
$$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}} \textcolor{Red}{f}(x) \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{F}(x) \Bigg| _{\textcolor{Orange}{a}} ^{\textcolor{Orange}{b}} =$$ $$\textcolor{Red}{F}(\textcolor{Orange}{b}) \textcolor{Green}{-} \textcolor{Red}{F}(\textcolor{Orange}{a}).$$
变上限积分定义的第二个推论（B007）
问题
若函数 $\textcolor{Orange}{f(x)}$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，函数 $\textcolor{Orange}{\phi(x)}$ 和 函数 $\textcolor{Orange}{\mu(x)}$ 在区间 $[a, b]$ 上可导，且变限积分 $\textcolor{Orange}{F(x)}$ $\textcolor{Orange}{=}$ $\textcolor{Orange}{{\int}_{\mu(x)}^{\phi(x)}}$ $\textcolor{Orange}{f(t)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} t}$, 则 $\textcolor{Orange}{F^{\prime}(x)}$ $=$ $?$选项
[A]. $F^{\prime}$ $=$ $f[\phi(x)]$ $\phi(x)$ $+$ $\mu(x)$ $\mu(x)$[B]. $F^{\prime}$ $=$ $f[\phi(x)]$ $\phi(x)$ $-$ $\mu(x)$ $\mu(x)$
[C]. $F^{\prime}$ $=$ $f[\phi(x)]$ $\phi^{\prime}(x)$ $+$ $\mu(x)$ $\mu^{\prime}(x)$
[D]. $F^{\prime}$ $=$ $f[\phi(x)]$ $\phi^{\prime}(x)$ $-$ $\mu(x)$ $\mu^{\prime}(x)$
$$F^{\textcolor{Yellow}{\prime}} =$$ $$\Bigg[ \int_{\textcolor{Orange}{\mu(x)}}^{\textcolor{Orange}{\phi(x)}} f(t) \mathrm{d} t \Bigg]^{\textcolor{Yellow}{\prime}} =$$ $$f[\textcolor{Orange}{\phi(x)}] \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Orange}{\phi} ^{\textcolor{Yellow}{\prime}} \textcolor{Orange}{(x)}$$ $$\textcolor{Green}{-}$$ $$f[\textcolor{Orange}{\mu(x)}] \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Orange}{\mu} ^{\textcolor{Yellow}{\prime}} \textcolor{Orange}{(x)}.$$
变上限积分定义的第一个推论（B007）
问题
若函数 $\textcolor{Orange}{f(x)}$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，函数 $\textcolor{Orange}{\phi(x)}$ 在区间 $[a, b]$ 上可导，且变上限积分 $\textcolor{Orange}{F(x)}$ $\textcolor{Orange}{=}$ $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{\phi(x)}}$ $\textcolor{Orange}{f(t)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} t}$, 则 $\textcolor{Orange}{F^{\prime}(x)}$ $=$ $?$选项
[A]. $F^{\prime}(x)$ $=$ $f[\phi(x)]$[B]. $F^{\prime}(x)$ $=$ $f[\phi ^{\prime} (x)]$ $\cdot$ $\phi(x)$
[C]. $F^{\prime}(x)$ $=$ $f[\phi(x)]$ $\cdot$ $\phi^{\prime}(x)$
[D]. $F^{\prime}(x)$ $=$ $f [ \phi(x)]$ $\cdot$ $\phi(x)$
$$\textcolor{Orange}{F^{\prime}(x)} =$$ $$\Bigg[ \int_{\textcolor{Yellow}{a}}^{\textcolor{Yellow}{\phi(x)}} \textcolor{Red}{f(t)} \mathrm{d} t \Bigg] \textcolor{Yellow}{^{\prime}} =$$ $$f[\textcolor{Red}{\phi(x)}] \cdot \textcolor{Red}{\phi} \textcolor{Yellow}{^{\prime}} \textcolor{Red}{(x)}.$$