反常积分 ${\int }_a^b$ $\frac{1}{(x–a{)}^p}$ $\mathrm{d}x$ 的敛散性（B007）

问题

以下关于反常积分 ${\int }_a^b$ $\frac{1}{(x–a{)}^p}$ $\mathrm{d}x$（其中 $a$ 为任意常数.）[敛散性] 的选项中，正确的是哪一个？

选项

[A].   ${\int }_a^b$ $\frac{1}{(x–a{)}^p}$ $\mathrm{d}x$ $\{\begin{array}{ll}& \mathrm{收}\mathrm{敛},p⩽1,\\ & \mathrm{发}\mathrm{散},p<1\end{array}$

[B].   ${\int }_a^b$ $\frac{1}{(x–a{)}^p}$ $\mathrm{d}x$ $\{\begin{array}{ll}& \mathrm{收}\mathrm{敛},p⩾1,\\ & \mathrm{发}\mathrm{散},p<1\end{array}$

[C].   ${\int }_a^b$ $\frac{1}{(x–a{)}^p}$ $\mathrm{d}x$ $\{\begin{array}{ll}& \mathrm{收}\mathrm{敛},p⩾1,\\ & \mathrm{发}\mathrm{散},p⩽1\end{array}$

[D].   ${\int }_a^b$ $\frac{1}{(x–a{)}^p}$ $\mathrm{d}x$ $\{\begin{array}{ll}& \mathrm{收}\mathrm{敛},p<1,\\ & \mathrm{发}\mathrm{散},p⩾1\end{array}$

   答 案   

$${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{(x–a{)}^p}\mathrm{d}x$$ $$\Rightarrow$$ $$\{\begin{array}{ll}& \mathrm{收}\mathrm{敛},p<1,\\ & \mathrm{发}\mathrm{散},p⩾1\end{array}$$ 其中，$a$ 为任意常数.