反常积分 $\int_{a}^{b}$ $\frac{1}{(x – a)^{p}}$ $\mathrm{d} x$ 的敛散性(B007)

问题

以下关于反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{\frac{1}{(x – a)^{p}}}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$(其中 $a$ 为任意常数.)[敛散性] 的选项中,正确的是哪一个?

选项

[A].   $\int_{a}^{b}$ $\frac{1}{(x – a)^{p}}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p \leqslant 1, \\ & 发散, p < 1 \end{cases}$

[B].   $\int_{a}^{b}$ $\frac{1}{(x – a)^{p}}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p \geqslant 1, \\ & 发散, p < 1 \end{cases}$

[C].   $\int_{a}^{b}$ $\frac{1}{(x – a)^{p}}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p \geqslant 1, \\ & 发散, p \leqslant 1 \end{cases}$

[D].   $\int_{a}^{b}$ $\frac{1}{(x – a)^{p}}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p < 1, \\ & 发散, p \geqslant 1 \end{cases}$


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$$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{+\infty}} \frac{\textcolor{Red}{1}}{\textcolor{Red}{(x – a)^{p}}} \mathrm{d} x$$ $$\textcolor{Green}{\Rightarrow}$$ $$\begin{cases} & 收敛, p \textcolor{Red}{<} 1, \\ & 发散, p \textcolor{Red}{\geqslant} 1 \end{cases}$$ 其中,$a$ 为任意常数.

反常积分 $\int_{a}^{b}$ $\frac{1}{(x - a)^{p}}$ $\mathrm{d} x$ 的敛散性 | 荒原之梦
图 01. 红色曲线为函数 $y$ $=$ $\frac{1}{x^{2}}$ 的图像,蓝色曲线为函数 $y$ $=$ $\frac{1}{x}$ 的图像.

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