问题
为了方便描述和练习，我们在这里令：$\textcolor{Orange}{F}$ $=$ $\int_{a}^{+\infty}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$
$\textcolor{Red}{G}$ $=$ $\int_{a}^{+\infty}$ $\textcolor{Red}{g(x)}$ $\mathrm{d} x$
若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $[a, +\infty)$ 内的任意有限区间上可积，$f(x)$ 和 $g(x)$ 均非负，且 $\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $\frac{\textcolor{Orange}{f(x)}}{\textcolor{Red}{g(x)}}$ $=$ $\lambda$, 则以下选项中，正确的是哪个？
选项
[A].当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时，$F$ 和 $G$ 敛散性相同
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时，$G$ 收敛则 $F$ 收敛
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时，$F$ 发散则 $G$ 发散
[B].
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时，$F$ 和 $G$ 敛散性相反
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时，$G$ 收敛则 $F$ 收敛
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时，$F$ 收敛则 $G$ 收敛
[C].
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时，$F$ 和 $G$ 敛散性相同
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时，$G$ 收敛则 $F$ 收敛
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时，$F$ 收敛则 $G$ 收敛
[D].
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时，$F$ 和 $G$ 敛散性相同
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时，$G$ 收敛则 $F$ 发散
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时，$F$ 收敛则 $G$ 收敛
（1）当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时，$\textcolor{Orange}{F}$ 和 $\textcolor{Red}{G}$ 敛散性相同 $\Rightarrow$ 若 $\lambda$ 为不等于 $0$ 的常数，则表明 $\textcolor{Orange}{F}$ 和 $\textcolor{Red}{G}$ 在大小上并没有产生不同级别的差距，因此具有相同的敛散性.
（2）当 $\lambda$ $=$ $0$ 时，$\textcolor{Red}{G}$ 收敛则 $\textcolor{Orange}{F}$ 收敛 $\Rightarrow$ 若 $\lambda$ $=$ $0$, 则表明 $\textcolor{Orange}{F}$ 远小于 $\textcolor{Red}{G}$, 由于“大收小必收”，于是可知，较大的 $\textcolor{Red}{G}$ 收敛就意味着较小的 $\textcolor{Orange}{F}$ 也一定收敛.
（3）当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时，$\textcolor{Orange}{F}$ 收敛则 $\textcolor{Red}{G}$ 收敛 $\Rightarrow$ 若 $\lambda$ $=$ $\infty$, 则表明 $\textcolor{Orange}{F}$ 远大于 $\textcolor{Red}{G}$, 由于“小发大必发”，于是可知，较小的 $\textcolor{Red}{G}$ 发散就意味着较大的 $\textcolor{Orange}{F}$ 也一定发散.