无穷限反常积分的比阶审敛法（B007）

问题

为了方便描述和练习，我们在这里令：

F

=

\int_{a}^{+ \infty}

f (x)

d x

G

=

\int_{a}^{+ \infty}

g (x)

d x

若函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 在区间 $[a, + \infty)$ 内的任意有限区间上可积， $f (x)$ 和 $g (x)$ 均非负，且 $lim_{x \to + \infty}$ $\frac{f (x)}{g (x)}$ $=$ $λ$ , 则以下选项中，正确的是哪个？

[A].
当

λ

\neq

0

时，

F

和

G

敛散性相反
当

λ

=

0

时，

G

收敛则

F

收敛
当

λ

=

\infty

时，

F

收敛则

G

收敛

[B].
当

λ

\neq

0

时，

F

和

G

敛散性相同
当

λ

=

0

时，

G

收敛则

F

收敛
当

λ

=

\infty

时，

F

收敛则

G

收敛

[C].
当

λ

\neq

0

时，

F

和

G

敛散性相同
当

λ

=

0

时，

G

收敛则

F

发散
当

λ

=

\infty

时，

F

收敛则

G

收敛

[D].
当

λ

\neq

0

时，

F

和

G

敛散性相同
当

λ

=

0

时，

G

收敛则

F

收敛
当

λ

=

\infty

时，

F

发散则

G

发散

（1）当 $λ$ $\neq$ $0$ 时， $F$ 和 $G$ 敛散性相同 $\Rightarrow$ 若 $λ$ 为不等于 $0$ 的常数，则表明 $F$ 和 $G$ 在大小上并没有产生不同级别的差距，因此具有相同的敛散性.

（2）当 $λ$ $=$ $0$ 时， $G$ 收敛则 $F$ 收敛 $\Rightarrow$ 若 $λ$ $=$ $0$ , 则表明 $F$ 远小于 $G$ , 由于“大收小必收”，于是可知，较大的 $G$ 收敛就意味着较小的 $F$ 也一定收敛.

（3）当 $λ$ $=$ $\infty$ 时， $F$ 收敛则 $G$ 收敛 $\Rightarrow$ 若 $λ$ $=$ $\infty$ , 则表明 $F$ 远大于 $G$ , 由于“小发大必发”，于是可知，较小的 $G$ 发散就意味着较大的 $F$ 也一定发散.