反常积分 ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}$ $\frac{1}{x{\ln }^{p}x}$ $\mathrm{d}x$ 的敛散性（B007）

问题

以下关于反常积分 ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}$ $\frac{1}{x{\ln }^{p}x}$ $\mathrm{d}x$（其中 $a$ $>$ $1$）[敛散性] 的选项中，正确的是哪一个？

选项

[A].   ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}$ $\frac{1}{x{\ln }^{p}x}$ $\mathrm{d}x$ $\{\begin{array}{ll}& \mathrm{收}\mathrm{敛},p>1,\\ & \mathrm{发}\mathrm{散},p⩽1\end{array}$

[B].   ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}$ $\frac{1}{x{\ln }^{p}x}$ $\mathrm{d}x$ $\{\begin{array}{ll}& \mathrm{收}\mathrm{敛},p⩽1,\\ & \mathrm{发}\mathrm{散},p>1\end{array}$

[C].   ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}$ $\frac{1}{x{\ln }^{p}x}$ $\mathrm{d}x$ $\{\begin{array}{ll}& \mathrm{收}\mathrm{敛},p⩾1,\\ & \mathrm{发}\mathrm{散},p<1\end{array}$

[D].   ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}$ $\frac{1}{x{\ln }^{p}x}$ $\mathrm{d}x$ $\{\begin{array}{ll}& \mathrm{收}\mathrm{敛},p⩾1,\\ & \mathrm{发}\mathrm{散},p⩽1\end{array}$

   答 案   

$${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x{\ln }^{p}x}\mathrm{d}x$$ $$\Rightarrow$$ $$\{\begin{array}{ll}& \mathrm{收}\mathrm{敛},p>1,\\ & \mathrm{发}\mathrm{散},p⩽1\end{array}$$其中，$a$ $>$ $1$.