考研数学 – 第 127 页

计算平行截面面积已知的立体体积（B007）

问题

如下图所示，若已知 $S(x)$ 为某立体垂直于 $x$ 轴的截面面积函数，则，如何使用定积分表示该立体在 $x$ $=$ $a$ 和 $x$ $=$ $b$ ($a$ $<$ $b$) 两个截面之间的体积 $V$ ?

选项

[A]. $V$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $S(x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $V$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $S^{2}(x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $V$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $|S(x)|$ $\mathrm{d} x$

[D]. $V$ $=$ $\int_{b}^{a}$ $S(x)$ $\mathrm{d} x$

答案

$V$ $=$ $\int_{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{orange}{b}}$ $\textcolor{red}{S(x)}$ $\mathrm{d} x$

基于极坐标系计算平面曲线的弧长（B007）

问题

若有极坐标系下的方程 $\rho$ $=$ $\rho(\theta)$, 且 $\alpha$ $\leqslant$ $\theta$ $\leqslant$ $\beta$, 则该极坐标方程在角度 $\theta$ 的取值范围 $[\alpha, \beta]$ 内的弧长 $L$ $=$ $?$

选项

[A]. $L$ $=$ $\int_{\alpha}^{\beta}$ $\sqrt{\rho^{2}(\theta) + \rho^{\prime 2}(\theta)}$ $\mathrm{d} \theta$

[B]. $L$ $=$ $\int_{\alpha}^{\beta}$ $\sqrt{\rho^{\prime 2}(\theta) – \rho^{\prime 2}(\theta)}$ $\mathrm{d} \theta$

[C]. $L$ $=$ $\int_{\alpha}^{\beta}$ $\sqrt{\rho^{2}(\theta) – \rho^{\prime 2}(\theta)}$ $\mathrm{d} \theta$

[D]. $L$ $=$ $\int_{\alpha}^{\beta}$ $\sqrt{\rho^{\prime 2}(\theta) + \rho^{2}(\theta)}$ $\mathrm{d} \theta$

答案

$L$ $=$ $\int_{\textcolor{orange}{\alpha}}^{\textcolor{orange}{\beta}}$ $\textcolor{red}{\sqrt{\rho^{2}(\theta) + \rho^{\prime 2}(\theta)}}$ $\mathrm{d} \theta$

基于参数方程计算平面曲线的弧长（B007）

问题

若有参数方程 $\begin{cases} & x = x(t) \\ & y = y(t) \end{cases}$, 且参数 $a$ $\leqslant$ $t$ $\leqslant$ $b$, 则该参数方程在区间 $[a, b]$ 上的弧长 $L$ $=$ $?$

选项

[A]. $L$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $\sqrt{x^{\prime 2}(t) + y^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t$

[B]. $L$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $\sqrt{x^{2}(t) + y^{2}(t)} \mathrm{d} t$

[C]. $L$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $\sqrt{x^{\prime}(t) + y^{\prime}(t)} \mathrm{d} t$

[D]. $L$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $\sqrt{x^{\prime 2}(t) – y^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t$

答案

$L$ $=$ $\int_{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{orange}{b}}$ $\textcolor{red}{\sqrt{x^{\prime 2}(t) + y^{\prime 2}(t)}} \mathrm{d} t$

基于普通方程计算平面曲线的弧长（B007）

问题

若有普通方程 $y$ $=$ $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可积，则该方程在区间 $[a, b]$ 上的弧长 $L$ $=$ $?$

选项

[A]. $L$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $[1+f^{\prime} (x)] \mathrm{d} x$

[B]. $L$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $\sqrt{1+f^{2} (x)} \mathrm{d} x$

[C]. $L$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $\sqrt{1+f^{\prime} (x)} \mathrm{d} x$

[D]. $L$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $\sqrt{1+f^{\prime 2} (x)} \mathrm{d} x$

答案

$L$ $=$ $\int_{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{orange}{b}}$ $\textcolor{Red}{\sqrt{1+f^{\prime} (x)}} \mathrm{d} x$

曲线 $x(y)$ 绕坐标轴旋转所形成的旋转体的体积（B007）

问题

如下图所示，橘黄色区域所表示的平面图形是由曲线 $x$ $=$ $x(y)$ 与直线 $y$ $=$ $c$, $y$ $=$ $d$ 以及 $y$ 轴所围成的，那么，该平面图形分别绕 $y$ 轴和 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体的体积 $V_{y}$ 与 $V_{x}$ 是多少？

曲线 $x(y)$ 绕坐标轴旋转所形成的旋转体的体积 | 荒原之梦

选项

[A]. $\begin{cases} & V_{y} = \pi \int_{c}^{d} x(y) \mathrm{d} y \\ & V_{x} = 2 \pi \int_{c}^{d} y |x(y)| \mathrm{d} y \end{cases}$

[B]. $\begin{cases} & V_{y} = \pi \int_{c}^{d} x^{2}(y) \mathrm{d} y \\ & V_{x} = 2 \pi \int_{c}^{d} y \cdot x(y) \mathrm{d} y \end{cases}$

[C]. $\begin{cases} & V_{y} = \pi \int_{c}^{d} x^{2}(y) \mathrm{d} y \\ & V_{x} = 2 \pi \int_{c}^{d} y |x(y)| \mathrm{d} y \end{cases}$

[D]. $\begin{cases} & V_{y} = 2 \pi \int_{c}^{d} x^{2}(y) \mathrm{d} y \\ & V_{x} = \pi \int_{c}^{d} y |x(y)| \mathrm{d} y \end{cases}$

答案

$\begin{cases} & V_{\textcolor{Orange}{y}} = \textcolor{Yellow}{\pi} \textcolor{Green}{\cdot} \int_{\textcolor{cyan}{c}}^{\textcolor{cyan}{d}} \textcolor{Red}{x^{2}(y)} \mathrm{d} y \\ & V_{\textcolor{Orange}{x}} = \textcolor{Yellow}{2} \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Yellow}{\pi} \int_{\textcolor{cyan}{c}}^{\textcolor{cyan}{d}} \textcolor{Red}{y} \textcolor{green}{\cdot} \textcolor{Red}{|x(y)|} \mathrm{d} y \end{cases}$

曲线 $y(x)$ 绕坐标轴旋转所形成的旋转体的体积（B007）

问题

如下图所示，橘黄色区域所表示的平面图形是由曲线 $y$ $=$ $y(x)$ 与直线 $x$ $=$ $a$, $x$ $=$ $b$ 以及 $x$ 轴所围成的，那么，该平面图形分别绕 $x$ 轴和 $y$ 轴旋转一周所得的旋转体的体积 $V_{x}$ 与 $V_{y}$ 是多少？

曲线 $y(x)$ 绕坐标轴旋转所形成的旋转体的体积 | 荒原之梦

选项

[A]. $\begin{cases} & V_{x} = \pi \int_{a}^{b} y(x) \mathrm{d} x \\ & V_{y} = 2 \pi \int_{a}^{b} x|y(x)| \mathrm{d} x \end{cases}$

[B]. $\begin{cases} & V_{x} = \pi \int_{a}^{b} y^{2}(x) \mathrm{d} x \\ & V_{y} = 2 \pi \int_{a}^{b} x \cdot y(x) \mathrm{d} x \end{cases}$

[C]. $\begin{cases} & V_{x} = \pi \int_{a}^{b} y^{2}(x) \mathrm{d} x \\ & V_{y} = 2 \pi \int_{a}^{b} x|y(x)| \mathrm{d} x \end{cases}$

[D]. $\begin{cases} & V_{x} = 2 \pi \int_{a}^{b} y^{2}(x) \mathrm{d} x \\ & V_{y} = \pi \int_{a}^{b} x|y(x)| \mathrm{d} x \end{cases}$

答案

$\begin{cases} & V_{\textcolor{Orange}{x}} = \textcolor{Yellow}{\pi} \textcolor{Green}{\cdot} \int_{\textcolor{cyan}{a}}^{\textcolor{cyan}{b}} \textcolor{Red}{y^{2}(x)} \mathrm{d} x \\ & V_{\textcolor{Orange}{y}} = \textcolor{Yellow}{2} \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Yellow}{\pi} \int_{\textcolor{cyan}{a}}^{\textcolor{cyan}{b}} \textcolor{Red}{x} \textcolor{green}{\cdot} \textcolor{Red}{|y(x)|} \mathrm{d} x \end{cases}$

利用定积分计算以极坐标系为基准的平面图形面积（B007）

问题

如下图所示，如何用定积分表示由极坐标系下的函数 $r(\theta)$ 和 $R(\theta)$ 与极角 $\alpha$ 和 $\beta$ 所对应的极径之间围成的平面图形的面积 $S$？

利用定积分计算以极坐标系为基准的平面图形面积 | 荒原之梦

选项

[A]. $S$ $=$ $\int_{\alpha}^{\beta}$ $[R^{2}(\theta) + r^{2}(\theta)]$ $\mathrm{d} \theta$

[B]. $S$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\int_{\alpha}^{\beta}$ $|R^{2}(\theta) – r^{2}(\theta)|$ $\mathrm{d} \theta$

[C]. $S$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\int_{\alpha}^{\beta}$ $[r^{2}(\theta) – R^{2}(\theta)]$ $\mathrm{d} \theta$

[D]. $S$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\int_{\alpha}^{\beta}$ $[R^{2}(\theta) – r^{2}(\theta)]$ $\mathrm{d} \theta$

答案

$S$ $=$ $\frac{\textcolor{Orange}{1}}{\textcolor{Orange}{2}}$ $\int_{\textcolor{Orange}{\alpha}}^{\textcolor{Orange}{\beta}}$ $\big[$ $\textcolor{Red}{R^{2}(\theta)} \textcolor{\Green}{-} \textcolor{Red}{r^{2}(\theta)}$ $\big]$ $\mathrm{d} \textcolor{Yellow}{\theta}$

利用定积分计算以 $y$ 轴为基准的平面图形面积（B007）

问题

如下图所示，如何用定积分表示由函数 $\Omega(x)$ 和 $\Delta(x)$ 以及直线 $y$ $=$ $a$ 和 $y$ $=$ $b$ 所围成的平面图形的面积 $S$？

利用定积分计算以 $y$ 轴为基准的平面图形面积 | 荒原之梦

选项

[A]. $S$ $=$ $\int_{c}^{d}$ $| \Omega(x) + \Delta(x) |$ $\mathrm{d} x$

[B]. $S$ $=$ $\int_{c}^{d}$ $[\Omega(x) – \Delta(x)]$ $\mathrm{d} x$

[C]. $S$ $=$ $\int_{c}^{d}$ $| \Omega(x) – \Delta(x) |$ $\mathrm{d} x$

[D]. $S$ $=$ $\int_{c}^{d}$ $[\Omega(x) + \Delta(x)]$ $\mathrm{d} x$

答案

$S$ $=$ $\int_{\textcolor{Orange}{c}}^{\textcolor{Orange}{d}}$ $\textcolor{Yellow}{|} \textcolor{Red}{\Omega(x)} – \textcolor{cyan}{\Delta(x)} \textcolor{Yellow}{|}$ $\mathrm{d} x$

或者写成：
$S$ $=$ $\int_{\textcolor{Orange}{c}}^{\textcolor{Orange}{d}}$ $\textcolor{Yellow}{|} \textcolor{cyan}{\Delta(x)} – \textcolor{Red}{\Omega(x)} \textcolor{Yellow}{|}$ $\mathrm{d} x$

利用定积分计算以 $x$ 轴为基准的平面图形面积（B007）

问题

如下图所示，如何用定积分表示由函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 以及直线 $x$ $=$ $a$ 和 $x$ $=$ $b$ 所围成的平面图形的面积 $S$？

利用定积分计算以 $x$ 轴为基准的平面图形面积 | 荒原之梦

选项

[A]. $S$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $[f(x) + g(x)]$ $\mathrm{d} x$

[B]. $S$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $| f(x) + g(x) |$ $\mathrm{d} x$

[C]. $S$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $[f(x) – g(x)]$ $\mathrm{d} x$

[D]. $S$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $| f(x) – g(x) |$ $\mathrm{d} x$

答案

$S$ $=$ $\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}}$ $\textcolor{Yellow}{|} \textcolor{Red}{f(x)} – \textcolor{cyan}{g(x)} \textcolor{Yellow}{|}$ $\mathrm{d} x$

或者写成：
$S$ $=$ $\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}}$ $\textcolor{Yellow}{|} \textcolor{cyan}{g(x)} – \textcolor{Red}{f(x)} \textcolor{Yellow}{|}$ $\mathrm{d} x$

无界函数反常积分的条件收敛（B007）

问题

以下哪个选项可以说明无界函数反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的收敛是条件收敛？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛，但 $\int_{a}^{b}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 却发散

[B]. $\int_{a}^{b}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 收敛，但 $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 却发散

[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 发散，但 $\int_{a}^{b}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 却收敛

[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛，$\int_{a}^{b}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 也收敛

答案

若 $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$ 收敛，但 $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Orange}{\big|}$ $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\big|}$ $\mathrm{d} x$ 却发散,我们称此收敛为“条件收敛”.

无界函数反常积分的绝对收敛（B007）

问题

以下哪个选项可以说明无界函数反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的收敛是绝对收敛？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(|x|)$ $\mathrm{d} x$ 收敛，$\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 也收敛

[B]. $\int_{a}^{b}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 收敛，$\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 也收敛

[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛，$\int_{a}^{b}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 也收敛

[D]. $|$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $|$ 收敛，$\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 也收敛

答案

若 $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Orange}{\big|}$ $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\big|}$ $\mathrm{d} x$ 收敛，则 $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$ 也收敛,我们称此收敛为“绝对收敛”.

无穷限反常积分的条件收敛（B007）

问题

以下哪个选项可以说明无穷限反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{+\infty}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的收敛是条件收敛？

选项

[A]. $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛，$\int_{a}^{+\infty}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 也收敛

[B]. $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛，但 $\int_{a}^{+\infty}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 却发散

[C]. $\int_{a}^{+\infty}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 收敛，但 $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 却发散

[D]. $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 发散，但 $\int_{a}^{+\infty}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 却收敛

答案

若 $\int_{a}^{+\infty}$ $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$ 收敛，但 $\int_{a}^{+\infty}$ $\textcolor{Orange}{\big|}$ $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\big|}$ $\mathrm{d} x$ 却发散,我们称此收敛为“条件收敛”.

无穷限反常积分的绝对收敛（B007）

问题

以下哪个选项可以说明无穷限反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{+\infty}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的收敛是绝对收敛？

选项

[A]. $\int_{a}^{+\infty}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 收敛，$\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 也收敛

[B]. $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛，$\int_{a}^{+\infty}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 也收敛

[C]. $|$ $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $|$ 收敛，$\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 也收敛

[D]. $\int_{a}^{+\infty}$ $f(|x|)$ $\mathrm{d} x$ 收敛，$\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 也收敛

答案

若 $\int_{a}^{+\infty}$ $\textcolor{Orange}{\big|}$ $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\big|}$ $\mathrm{d} x$ 收敛，则 $\int_{a}^{+\infty}$ $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$ 也收敛,我们称此收敛为“绝对收敛”.

无界函数反常积分的极限审敛法：$\lim_{x \rightarrow a^{+}}$ $(x-a) f(x)$（B007）

问题

若函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b]$ 上连续，$x$ $=$ $a$ 为其瑕点，且 $f(x)$ $\geqslant$ $0$, 则以下关于反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的敛散性结论中，正确的是哪个？

选项

[A]. 若有 $\lambda$ $>$ $0$ 或 $\lambda$ $=$ $+ \infty$, 使得 $\lim_{x \rightarrow a^{+}}$ $(x-a) f(x)$ $=$ $\lambda$, 则 $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 发散

[B]. 若有 $\lambda$ $\geqslant$ $0$ 或 $\lambda$ $\neq$ $+ \infty$, 使得 $\lim_{x \rightarrow a^{+}}$ $(x-a) f(x)$ $=$ $\lambda$, 则 $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛

[C]. 若有 $\lambda$ $>$ $0$ 或 $\lambda$ $=$ $+ \infty$, 使得 $\lim_{x \rightarrow a^{+}}$ $(x-a) f(x)$ $=$ $\lambda$, 则 $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛

[D]. 若有 $\lambda$ $=$ $0$ 或 $\lambda$ $<$ $+ \infty$, 使得 $\lim_{x \rightarrow a^{+}}$ $(x-a) f(x)$ $=$ $\lambda$, 则 $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 发散

答案

若有 $\textcolor{Yellow}{\lambda}$ $\textcolor{Green}{>}$ $\textcolor{Yellow}{0}$ 或 $\textcolor{Yellow}{\lambda}$ $\textcolor{Green}{=}$ $\textcolor{Yellow}{+ \infty}$, 使得 $\lim_{x \rightarrow \textcolor{Orange}{a^{+}}}$ $\big[$ $\textcolor{Red}{(x-a)} \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Red}{f(x)}$ $\big]$ $=$ $\textcolor{Yellow}{\lambda}$, 则 $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$ 发散

无界函数反常积分的极限审敛法：$\lim_{x \rightarrow a^{+}}$ $(x-a)^{p} f(x)$（B007）

问题

若函数 $f(x)$ 在 $(a, b]$ 上连续，$x$ $=$ $a$ 为其瑕点，且 $f(x)$ $\geqslant$ $0$, 则以下关于反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 敛散性的结论中，正确的是哪个？

选项

[A]. 若有 $0$ $>$ $p$ $>$ $1$, 使得 $\lim_{x \rightarrow a^{+}}$ $(x-a)^{p} f(x)$ $=$ $\lambda$（其中，$0$ $\geqslant$ $\lambda$ $>$ $+\infty$）成立，则 $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 发散

[B]. 若有 $-1$ $<$ $p$ $<$ $1$, 使得 $\lim_{x \rightarrow a^{+}}$ $(x-a)^{p} f(x)$ $=$ $\lambda$（其中，$1$ $\leqslant$ $\lambda$ $<$ $+\infty$）成立，则 $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛

[C]. 若有 $0$ $<$ $p$ $<$ $1$, 使得 $\lim_{x \rightarrow a^{+}}$ $(x+a)^{p} f(x)$ $=$ $\lambda$（其中，$0$ $\leqslant$ $\lambda$ $<$ $+\infty$）成立，则 $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 发散

[D]. 若有 $0$ $<$ $p$ $<$ $1$, 使得 $\lim_{x \rightarrow a^{+}}$ $(x-a)^{p} f(x)$ $=$ $\lambda$（其中，$0$ $\leqslant$ $\lambda$ $<$ $+\infty$）成立，则 $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛

答案

若有 $\textcolor{Yellow}{0}$ $\textcolor{Green}{<}$ $\textcolor{Yellow}{p}$ $\textcolor{Green}{<}$ $\textcolor{Yellow}{1}$, 使得 $\lim_{x \rightarrow \textcolor{Yellow}{a^{+}}}$ $\big[$ $\textcolor{Red}{(x-a)^{p}} \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Red}{f(x)}$ $\big]$ $=$ $\textcolor{Orange}{\lambda}$（其中，$\textcolor{Yellow}{0}$ $\textcolor{Green}{\leqslant}$ $\textcolor{Yellow}{\lambda}$ $\textcolor{Green}{<}$ $\textcolor{Yellow}{+\infty}$）成立，则 $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$ 收敛