由两矩阵相加所得矩阵的特征(C008)

问题

已知,矩阵 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$, 矩阵 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\left(b_{i j}\right)_{m \times n}$.

则,$A$ $+$ $B$ 运算所得的矩阵 $C$ 是一个几行几列的矩阵?

选项

[A].   $n$ 行 $n$ 列

[B].   $m$ 行 $m$ 列

[C].   $n$ 行 $m$ 列

[D].   $m$ 行 $n$ 列


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$\textcolor{orange}{m}$ 行 $\textcolor{cyan}{n}$ 列

矩阵加法运算的基础(C008)

问题

以下哪个选项中的两个矩阵可以进行加法运算?

选项

[A].   $\boldsymbol{A}$ $=$ $\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$ 和 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\left(b_{i j}\right)_{n \times n}$

[B].   $\boldsymbol{A}$ $=$ $\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$ 和 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\left(b_{i j}\right)_{m \times m}$

[C].   $\boldsymbol{A}$ $=$ $\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$ 和 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\left(b_{i j}\right)_{m \times n}$

[D].   $\boldsymbol{A}$ $=$ $\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$ 和 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\left(b_{i j}\right)_{n \times m}$


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$\boldsymbol{A}$ $=$ $\left(a_{i j}\right)_{\textcolor{orange}{m} \times \textcolor{cyan}{n}}$ 和 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\left(b_{i j}\right)_{\textcolor{orange}{m} \times \textcolor{cyan}{n}}$

反对称矩阵的定义(C007)

问题

以下哪个矩阵是反对称矩阵?

选项

[A].   $\left(\begin{array}{ccc} 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)$

[B].   $\left(\begin{array}{ccc} 0 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & 7 \\ 0 & -7 & 0 \end{array}\right)$

[C].   $\left(\begin{array}{ccc} 3 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 6 & 2 & 6 \end{array}\right)$

[D].   $\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 0 \end{array}\right)$


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$\left(\begin{array}{ccc} 0 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & 7 \\ 0 & -7 & 0 \end{array}\right)$

满足 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ $=$ $- \boldsymbol{A}$, 即 $a_{i j}$ $=$ $- a_{j i}$ 且 $a_{i i}$ $=$ $0$ 的矩阵都是反对称矩阵——关于全为零的主对角线对称位置上的元素相反。

对称矩阵的定义(C007)

问题

以下哪个矩阵是对称矩阵?

选项

[A].   $\left(\begin{array}{ccc} 3 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 7 \\ 0 & 7 & 5 \end{array}\right)$

[B].   $\left(\begin{array}{ccc} 3 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 6 & 2 & 6 \end{array}\right)$

[C].   $\left(\begin{array}{ccc} 3 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}\right)$

[D].   $\left(\begin{array}{ccc} 3 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}\right)$


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$\left(\begin{array}{ccc} 3 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 7 \\ 0 & 7 & 5 \end{array}\right)$

满足 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ $=$ $\boldsymbol{A}$, 即 $a_{i j}$ $=$ $a_{j i}$ 的矩阵都是对称矩阵——关于主对角线对称位置上的元素相等。

下三角矩阵的定义(C007)

问题

以下哪个矩阵是下三角矩阵?

选项

[A].   $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 9\\ 3 & 7 & 8 \end{bmatrix}$

[B].   $\begin{bmatrix} 1 & 7 & 8\\ 0 & 2 & 9\\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

[C].   $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 9 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

[D].   $\begin{bmatrix} 7 & 8 & 1\\ 9 & 2 & 0\\ 3 & 0 & 0 \end{bmatrix}$


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$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 9 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

下三角矩阵定义的标准版:
$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$, 当 $i$ $<$ $j$ 时,$a_{i j}$ $=$ $0$, $($ $j$ $=$ $2$, $3$, $\cdots$, $n$ $)$ 的矩阵称为下三角矩阵. 下三角矩阵定义的简易版:
主对角线上方(不包括主对角线)区域的元素全为零的矩阵就是下三角矩阵.

上三角矩阵的定义(C007)

问题

以下哪个矩阵是上三角矩阵?

选项

[A].   $\begin{bmatrix} 7 & 8 & 1\\ 9 & 2 & 0\\ 3 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

[B].   $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 7 & 2 & 0\\ 8 & 9 & 3 \end{bmatrix}$

[C].   $\begin{bmatrix} 1 & 7 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

[D].   $\begin{bmatrix} 1 & 7 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$


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$\begin{bmatrix} 1 & 7 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

上三角矩阵定义的标准版:
$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$, 当 $i$ $>$ $j$ 时,$a_{i j}$ $=$ $0$, $($ $j$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $n$ $-$ $1$ $)$ 的矩阵称为上三角矩阵.

上三角矩阵定义的简易版:
主对角线下方(不包括主对角线)区域的元素全为零的矩阵就是上三角矩阵.

对角矩阵的定义(C007)

问题

以下哪个矩阵可以被称为对角矩阵?

选项

[A].   $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

[B].   $\begin{bmatrix} 7 & 1 & 1\\ 1 & 8 & 1\\ 1 & 1 & 9 \end{bmatrix}$

[C].   $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 0\\ 3 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

[D].   $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$


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$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

除了主对角线之外的区域上的元素全部为零的矩阵就是对角矩阵,形如:
$\left(\begin{array}{cccc} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ & & \ddots & \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{array}\right)$

对角矩阵一般记作:$\boldsymbol{\Lambda}$

数量矩阵的定义(C007)

问题

已知,$k$ 为常数,则,以下哪个矩阵可以被称为“数量矩阵”?

选项

[A].   $\begin{bmatrix} 0 & 0 & k\\ 0 & k & 0\\ k & 0 & 0 \end{bmatrix}$

[B].   $\begin{bmatrix} k & k & k\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

[C].   $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

[D].   $\begin{bmatrix} k & 0 & 0\\ 0 & k & 0\\ 0 & 0 & k \end{bmatrix}$


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$\begin{bmatrix} k & 0 & 0\\ 0 & k & 0\\ 0 & 0 & k \end{bmatrix}$

主对角线上的元素全为 $k$, 形如下面这个矩阵的矩阵都可以被称为数量矩阵:
$\left(\begin{array}{llll} k & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & k & \cdots & 0 \\ & & \ddots & \\ 0 & 0 & \cdots & k \end{array}\right)$

数量矩阵一般记作 $k E$.

单位矩阵的定义(C007)

问题

以下哪个矩阵可以被称为“单位矩阵”?

选项

[A].   $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

[B].   $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[C].   $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

[D].   $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$


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$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

主对角线上的元素全为 $1$, 形如下面这个矩阵的矩阵都可以被称为单位矩阵:
$\left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ & & \ddots & \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{array}\right)$

零矩阵的定义(C007)

问题

以下哪个矩阵可以被称为“零矩阵”?

选项

[A].   $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[B].   $0$

[C].   $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

[D].   $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$


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$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

零矩阵就是矩阵内元素都为 $0$ 的矩阵,记作:$O$

行向量的定义(C007)

问题

以下哪个选项是一个行向量或者说行矩阵?

选项

[A].   $\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{array}\right)$

[B].   $\left(\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{array}\right)$

[C].   $\begin{bmatrix} a_{1} & & \\ & a_{2} & \\ & & a_{3} \end{bmatrix}$

[D].   $\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)$


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$\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)$

$n$ 阶方阵的定义(C007)

问题

以下哪个矩阵可以被称为“方阵”?

选项

[A].   $\begin{bmatrix} * & * \\ * & * \\ * & * \end{bmatrix}$

[B].   $\begin{bmatrix} * & * & * \end{bmatrix}$

[C].   $\begin{bmatrix} * & * & * \\ * & * & * \end{bmatrix}$

[D].   $\begin{bmatrix} * & * & * \\ * & * & * \\ * & * & * \end{bmatrix}$


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$\begin{bmatrix} * & * & * \\ * & * & * \\ * & * & * \end{bmatrix}$

形如下面的矩阵可以被称为 $n$ 阶方阵或者 $n$ 阶矩阵,记作 $A$ 或者 $A_{n}$:
$\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right)$

齐次线性方程组只有零解的情况(C006)

问题

已知,有齐次线性方程组:
$\left\{\begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\ \vdots \\ a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=0 \end{array}\right.$.

且,该其次线性方程组的系数矩阵 $D$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$

那么,当满足什么条件的时候,该线性方程组有且只有零解?

选项

[A].   $D$ $\neq$ $0$

[B].   $D$ $=$ $1$

[C].   $D$ $\neq$ $1$

[D].   $D$ $=$ $0$


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当 $D$ $\neq$ $0$ 时,该线性方程组只有零解:
$x_{1}$ $=$ $x_{2}$ $=$ $\cdots$ $=$ $x_{n}$ $=$ $0$.

用克拉默法则计算线性方程组的解(C006)

问题

已知,有线性方程组:
$\left\{\begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\ \vdots \\ a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=b_{n} \end{array}\right.$

其系数行列式为 $D$, 而 $D_{j}$ 则是把系数行列式 $D$ 中第 $j$ 列用常数项代替后所得到的 $n$ 阶行列式,其中 $j$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $n$.

则,根据克拉默法则,如果该线性方程组有唯一的解,那么,这组解该怎么表示?

选项

[A].   $x_{1}$ $=$ $\frac{D}{D_{1}}$, $x_{2}$ $=$ $\frac{D}{D_{2}}$, $\cdots$, $x_{n}$ $=$ $\frac{D}{D_{n}}$

[B].   $x_{1}$ $=$ $D_{1}$, $x_{2}$ $=$ $D_{2}$, $\cdots$, $x_{n}$ $=$ $D_{n}$

[C].   $x_{1}$ $=$ $D_{1} D$, $x_{2}$ $=$ $D_{2} D$, $\cdots$, $x_{n}$ $=$ $D_{n} D$

[D].   $x_{1}$ $=$ $\frac{D_{1}}{D}$, $x_{2}$ $=$ $\frac{D_{2}}{D}$, $\cdots$, $x_{n}$ $=$ $\frac{D_{n}}{D}$


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$x_{1}$ $=$ $\frac{\textcolor{orange}{D_{1}}}{\textcolor{cyan}{D}}$, $x_{2}$ $=$ $\frac{\textcolor{orange}{D_{2}}}{\textcolor{cyan}{D}}$, $\cdots$, $x_{n}$ $=$ $\frac{\textcolor{orange}{D_{n}}}{\textcolor{cyan}{D}}$

通过系数行列式判断线性方程组是否有唯一解(C006)

问题

已知,有线性方程组:
$\left\{\begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\ \vdots \\ a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=b_{n} \end{array}\right.$

其系数行列式为:
$D$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$

则,当系数行列式 $D$ 满足什么条件的时候,该线性方程组有唯一解?

选项

[A].   $D$ $\neq$ $1$

[B].   $D$ $=$ $0$

[C].   $D$ $\neq$ $0$

[D].   $D$ $=$ $1$


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$D$ $\neq$ $0$


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