问题
根据初等矩阵的性质，初等矩阵的 逆 矩 阵 是否还是初等矩阵？选项
[A]. 是[B]. 否
初等矩阵的 逆 矩 阵 还 是 初等矩阵
初等矩阵的逆矩阵是否还是初等矩阵？（C011）
[B]. 否
分类： 线性代数
[B]. 否
初等矩阵的可逆性（C011）
问题
根据初等矩阵的性质，初 等 矩 阵 都 可 逆 吗 ？选项
[A]. 初等矩阵均可逆[B]. 部分初等矩阵可逆
[C]. 初等矩阵不可逆
初等矩阵 均 可 逆
初等变换与初等矩阵的关系之：“右列”原则（C011）
问题
如果对矩阵 $\boldsymbol{A}_{m \times n}$ 实施一次 初 等 列 变 换 ，就相当于在 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 的 哪 边 乘 以 一个相应的 $m$ 阶 初 等 矩 阵 ？选项
[A]. 左边或者右边[B]. 左右两边
[C]. 左边
[D]. 右边
对矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}_{m \times n}}$ 实施一次初等 列 变换，就相当于在 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 的 右 边 乘以相应的 $\textcolor{cyan}{n}$ 阶初等矩阵
初等变换与初等矩阵的关系之：“左行”原则（C011）
问题
如果对矩阵 $\boldsymbol{A}_{m \times n}$ 实施一次 初 等 行 变 换 ，就相当于在 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 的 哪 边 乘 以 一个相应的 $m$ 阶 初 等 矩 阵 ？选项
[A]. 右边[B]. 左边
[C]. 左边或者右边
[D]. 左右两边
对矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}_{m \times n}}$ 实施一次初等 行 变换，就相当于在 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 的 左 边 乘以相应的 $\textcolor{cyan}{m}$ 阶初等矩阵
第三种初等矩阵的表示方法（C011）
问题
将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $\textcolor{orange}{i}$ 行 元素的 $\textcolor{tan}{k}$ 倍加到第 $\textcolor{orange}{j}$ 行 上，或者将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $\textcolor{orange}{i}$ 列 元素的 $\textcolor{tan}{k}$ 倍加到第 $\textcolor{orange}{j}$ 列 上，所得的矩阵被称为第 三 种初等矩阵。根据惯例，以下对第 三 种初等矩阵的 符 号 表 示 中，正 确 的是哪个？
选项
[A]. $\boldsymbol{E}_{i}(k)$[B]. $\boldsymbol{E}_{i j}(k)$
[C]. $k \boldsymbol{E}_{i j}$
[D]. $\boldsymbol{E}_{j}(k)$
单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 作变换 $r_{\textcolor{cyan}{j}}$ $+$ $\textcolor{tan}{k} r_{\textcolor{orange}{i}}$（或 $c_{\textcolor{orange}{i}}$ $+$ $\textcolor{tan}{k} c_{\textcolor{cyan}{j}}$），得初等矩阵 $\boldsymbol{E}_{\textcolor{orange}{i} \textcolor{cyan}{j}}(\textcolor{tan}{k})$
第二种初等矩阵的表示方法（C011）
问题
将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $i$ 行 元素 $\textcolor{orange}{r_{i}}$ 或者将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $i$ 列 元素 $\textcolor{orange}{c_{i}}$ 乘 以 非零常数 $\textcolor{tan}{k}$, 所得的矩阵被称为第 二 种初等矩阵。根据惯例，以下对第 二 种初等矩阵的 符 号 表 示 中，正 确 的是哪个？
选项
[A]. $\boldsymbol{E}_{i}$[B]. $\boldsymbol{E}_{i}(k)$
[C]. $\boldsymbol{E}_{i j}(k)$
[D]. $k \boldsymbol{E}_{i}$
单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 作变换 $r_{\textcolor{orange}{i}}$ $\times$ $\textcolor{cyan}{k}$（或 $c_{\textcolor{orange}{i}}$ $\times$ $\textcolor{cyan}{k}$），得初等矩阵 $\boldsymbol{E}_{\textcolor{orange}{i}}(\textcolor{cyan}{k})$
第一种初等矩阵的表示方法（C011）
问题
将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $i$ 行 元素 $\textcolor{orange}{r_{i}}$ 与第 $j$ 行 元素 $\textcolor{orange}{r_{j}}$ 做一次交换或者将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $i$ 列 元素 $\textcolor{orange}{c_{i}}$ 与第 $j$ 列 元素 $\textcolor{orange}{c_{j}}$ 做一次交换，所得的矩阵被称为第 一 种初等矩阵。根据惯例，以下对第 一 种初等矩阵的 符 号 表 示 中，正 确 的是哪个？
选项
[A]. $\boldsymbol{E}_{i}$[B]. $\boldsymbol{E}_{i j}$
[C]. $\boldsymbol{E}_{i j}(k)$
[D]. $\boldsymbol{E}_{j}$
$\boldsymbol{E}$ 作变换 $r_{\textcolor{orange}{i}}$ $\leftrightarrow$ $r_{\textcolor{cyan}{j}}$（或 $c_{\textcolor{orange}{i}}$ $\leftrightarrow$ $c_{\textcolor{cyan}{j}}$），得初等矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{red}{E}}_{\textcolor{orange}{i} \textcolor{cyan}{j}}$
什么是初等矩阵？（C011）
问题
已知，$\boldsymbol{E}$ 为单位矩阵， 则 以 下 关 于 初 等 矩 阵 的 说 法 中 ，正确的是哪个？选项
[A]. $\boldsymbol{E}$ 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵[B]. $\boldsymbol{E}$ 经过任意次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
[C]. $\boldsymbol{E}$ 经过一次初等行变换和一次初等列变换得到的矩阵称为初等矩阵
[D]. $\boldsymbol{E}$ 经过两次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
$\boldsymbol{E}$ 经过 一 次 初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
初等行变换和初等列变换（C011）
问题
根据 矩 阵 初 等 变 换 的 定 义 ，以下说法中正确的是哪个？选项
[A]. 同时进行初等行变换和初等列变换才是初等变换[B]. 只有初等列变换是初等变换
[C]. 只有初等行变换是初等变换
[D]. 初等行变换和初等列变换都是初等变换
初等 行 变换和初等 列 变换 都 是 初等变换
矩阵的第三种初等变换（C011）
问题
根据矩阵初等变换的定义， 把 矩 阵 中 某 一 行 或 列 的 所 有 元 素 的 常 数 $k$ 倍 加 到 该 矩 阵 的 另 一 行 或 列 上 ，是否是一种初等变换？选项
[A]. 不是[B]. 是
是
矩阵的第二种初等变换（C011）
问题
根据矩阵初等变换的定义， 用 非 零 常 数 $k$ 乘 以 矩 阵 中 某 一 行 或 者 某 一 列 的 所 有 元 素 ，是否是一种初等变换？选项
[A]. 不是[B]. 是
是
矩阵的第一种初等变换（C011）
分块矩阵求逆法：下三角形式（C010）
问题
已知，$\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$, $\boldsymbol{\textcolor{orange}{B}}$ 和 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{C}}$ 是元素 非 全 为 零 的方阵，$\boldsymbol{\textcolor{orange}{O}}$ 是元素 全 为 零 的方阵则，根据可逆矩阵的性质，$\textcolor{orange}{\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{?}$
选项
[A]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \\ -\boldsymbol{B} \boldsymbol{C}^{-1} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{array}\right)$[B]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{C} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{array}\right)$
[C]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \\ -\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{C} \boldsymbol{B}^{-1} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{array}\right)$
[D]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \\ -\boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{C} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{\textcolor{yellow}{C}} & \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}} \end{array}\right)^{\textcolor{red}{-1}}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}^{\textcolor{red}{-1}} & \boldsymbol{O} \\ \textcolor{red}{-}\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}^{\textcolor{red}{-1}} \boldsymbol{\textcolor{yellow}{C}} \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}^{\textcolor{red}{-1}} & \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}^{\textcolor{red}{-1}} \end{array}\right)$
分块矩阵求逆法：上三角形式（C010）
问题
已知，$\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$, $\boldsymbol{\textcolor{orange}{B}}$ 和 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{C}}$ 是元素 非 全 为 零 的方阵，$\boldsymbol{\textcolor{orange}{O}}$ 是元素 全 为 零 的方阵则，根据可逆矩阵的性质，$\textcolor{orange}{\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{?}$
选项
[A]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A}^{-1} & -\boldsymbol{A} \boldsymbol{C}^{-1} \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{array}\right)$[B]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{C} \boldsymbol{B}^{-1} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{array}\right)$
[C]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & -\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{C} \boldsymbol{B}^{-1} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)$
[D]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A}^{-1} & -\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{C} \boldsymbol{B}^{-1} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}} & \boldsymbol{\textcolor{yellow}{C}} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}} \end{array}\right)^{\textcolor{red}{-1}}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}^{-1} & \textcolor{red}{-}\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}^{\textcolor{red}{-1}} \boldsymbol{\textcolor{yellow}{C}} \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}^{\textcolor{red}{-1}} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}^{-1} \end{array}\right)$
分块矩阵求逆法：副对角线形式（C010）
问题
已知，$\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 和 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{B}}$ 是元素 非 全 为 零 的方阵，$\boldsymbol{\textcolor{orange}{O}}$ 是元素 全 为 零 的方阵则，根据可逆矩阵的性质，$\textcolor{orange}{\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{array}\right)^{-1}}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{?}$
选项
[A]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A^{-1}} \\ \boldsymbol{B^{-1}} & \boldsymbol{O} \end{array}\right)$[B]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{\top} \\ \boldsymbol{A}^{\top} & \boldsymbol{O} \end{array}\right)$
[C]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \\ \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \end{array}\right)$
[D]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{B}^{-1} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A}^{-1} \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}} \\ \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}} & \boldsymbol{O} \end{array}\right)^{\textcolor{red}{-1}}$ $=$ $\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}^{\textcolor{red}{-1}} \\ \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}^{\textcolor{red}{-1}} & \boldsymbol{O} \end{array}\right)$