一、题目
多项式 $f\left(x\right) = \begin{vmatrix} x & x & 1 & 2x \\ 1 & x & 2 & -1 \\ 2 & 1 & x & 1 \\ 2 & -1 & 1 & x \end{vmatrix}$ 中 $x^{3}$ 项的系数为 $\underline{\hspace{26px}}$
难度评级：
继续阅读“2021年考研数二第16题解析：多项式的性质、行列式的计算”2021年考研数二第16题解析：多项式的性质、行列式的计算
作者： 荒原之梦
双层旋转体体积的计算
一、题目
设 $D$ 为在 $y = \left(x – 1\right)^{2}$ 上方、在 $y = x + 1$ 下方的区域. 求将 $\mathcal{R}$ 绕 $X$ 轴旋转所得立体的体积.
难度评级：
继续阅读“双层旋转体体积的计算”基于“金木水火土”和汉字以及天干地支纪年法理解矩阵的乘法运算
在下面的式子中，列向量 $\begin{pmatrix} \text{金} & \text{木} & \text{水} & \text{火} & \text{土} \end{pmatrix}^{\top}$ 和行向量 $\begin{pmatrix} \text{金} & \text{木} & \text{水} & \text{火} & \text{土} \end{pmatrix}$ 相乘（外积）所得的 $5 \times 5$ 的矩阵中，每一个元素都是一个真实存在的汉字：
$$
\begin{pmatrix}
\text{金} \\
\text{木} \\
\text{水} \\
\text{火} \\
\text{土}
\end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix}
\text{金} & \text{木} & \text{水} & \text{火} & \text{土}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\text{鍂} & \text{鈢} & \text{淦} & \text{鈥} & \text{釷} \\
\text{鈢} & \text{林} & \text{沐} & \text{炑} & \text{杜} \\
\text{淦} & \text{沐} & \text{沝} & \text{淡} & \text{汢} \\
\text{鈥} & \text{炑} & \text{淡} & \text{炎} & \text{灶} \\
\text{釷} & \text{杜} & \text{汢} & \text{灶} & \text{圭} \\
\end{pmatrix}
$$
当然，基于天干地支纪年法，也可以表示向量乘法运算（外积）：
$$
\begin{aligned}
& \begin{pmatrix}
\tiny{\text{甲}} \\
\tiny{\text{乙}} \\
\tiny{\text{丙}} \\
\tiny{\text{丁}} \\
\tiny{\text{戊}} \\
\tiny{\text{己}} \\
\tiny{\text{庚}} \\
\tiny{\text{辛}} \\
\tiny{\text{壬}} \\
\tiny{\text{癸}}
\end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix}
\tiny{\text{子}} & \tiny{\text{丑}} & \tiny{\text{寅}} & \tiny{\text{卯}} & \tiny{\text{辰}} & \tiny{\text{巳}} & \tiny{\text{午}} & \tiny{\text{未}} & \tiny{\text{申}} & \tiny{\text{酉}} & \tiny{\text{戌}} & \tiny{\text{亥}}
\end{pmatrix} \\
= & \begin{pmatrix}
\tiny{\text{甲子}} & & \tiny{\text{甲寅}} & & \tiny{\text{甲辰}} & & \tiny{\text{甲午}} & & \tiny{\text{甲申}} & & \tiny{\text{甲戌}} & \\
& \tiny{\text{乙丑}} & & \tiny{\text{乙卯}} & & \tiny{\text{乙巳}} & & \tiny{\text{乙未}} & & \tiny{\text{乙酉}} & & \tiny{\text{乙亥}} \\
\tiny{\text{丙子}} & & \tiny{\text{丙寅}} & & \tiny{\text{丙辰}} & & \tiny{\text{丙午}} & & \tiny{\text{丙申}} & & \tiny{\text{丙戌}} & \\
& \tiny{\text{丁丑}} & & \tiny{\text{丁卯}} & & \tiny{\text{丁巳}} & & \tiny{\text{丁未}} & & \tiny{\text{丁酉}} & & \tiny{\text{丁亥}} \\
\tiny{\text{戊子}} & & \tiny{\text{戊寅}} & & \tiny{\text{戊辰}} & & \tiny{\text{戊午}} & & \tiny{\text{戊申}} & & \tiny{\text{戊戌}} & \\
& \tiny{\text{己丑}} & & \tiny{\text{己卯}} & & \tiny{\text{己巳}} & & \tiny{\text{己未}} & & \tiny{\text{己酉}} & & \tiny{\text{己亥}} \\
\tiny{\text{庚子}} & & \tiny{\text{庚寅}} & & \tiny{\text{庚辰}} & & \tiny{\text{庚午}} & & \tiny{\text{庚申}} & & \tiny{\text{庚戌}} & \\
& \tiny{\text{辛丑}} & & \tiny{\text{辛卯}} & & \tiny{\text{辛巳}} & & \tiny{\text{辛未}} & & \tiny{\text{辛酉}} & & \tiny{\text{辛亥}} \\
\tiny{\text{壬子}} & & \tiny{\text{壬寅}} & & \tiny{\text{壬辰}} & & \tiny{\text{壬午}} & & \tiny{\text{壬申}} & & \tiny{\text{壬戌}} & \\
& \tiny{\text{癸丑}} & & \tiny{\text{癸卯}} & & \tiny{\text{癸巳}} & & \tiny{\text{癸未}} & & \tiny{\text{癸酉}} & & \tiny{\text{癸亥}}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
注意：按照严格的干支纪年法，只有阴阳才能相配，一共有 60 个组合，即“六十甲子”. 因此，在上面的向量乘法运算中，用空位表示不属于六十甲子的组合.
高等数学
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
线性代数
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
特别专题
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
2021年考研数二第15题解析：三阶常系数线性齐次微分方程、实根、共轭复根
一、题目
微分方程 $y^{\prime \prime \prime} – y = 0$ 的通解 $y = \underline{\hspace{26px}}$
难度评级：
继续阅读“2021年考研数二第15题解析：三阶常系数线性齐次微分方程、实根、共轭复根”2021年考研数二第14题解析（版本 2）：二重积分的计算、交换积分次序
一、题目
已知函数 $f\left(t\right) = \int_{1}^{t^{2}} \mathrm{d}x \int_{\sqrt{x}}^{t} \sin \frac{x}{y} \mathrm{~d}y$, 则 $f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right) = \underline{\hspace{26px}}$
难度评级：
继续阅读“2021年考研数二第14题解析（版本 2）：二重积分的计算、交换积分次序”2021年考研数二第14题解析（版本 1）：二重积分的计算、交换积分次序
一、题目
已知函数 $f\left(t\right) = \int_{1}^{t} \mathrm{d}x \int_{\sqrt{x}}^{1} \sin \frac{x}{y} \mathrm{~d}y$，则 $f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right) = \underline{\hspace{26px}}$
难度评级：
继续阅读“2021年考研数二第14题解析（版本 1）：二重积分的计算、交换积分次序”被积函数中分子是分母的导数该怎么计算？
一、题目
$$
\int \frac{g^{\prime}\left(x\right)}{g\left(x\right)} \mathrm{~d}x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“被积函数中分子是分母的导数该怎么计算？”积分运算中，分母上的 x 和分子上的 ln x 等价
积分换元的时候不能只考虑被积函数
一、题目
$$
\int \frac{1}{\sqrt{x}\left(1 – \sqrt{x}\right)} \mathrm{~d}x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“积分换元的时候不能只考虑被积函数”2021年考研数二第13题解析：二元方程求偏导数
一、题目
设函数 $z=z\left(x,y\right)$ 由方程 $\left( x+1 \right)z + y \ln z – \arctan \left( 2xy \right) = 1$ 确定，则 $\left.\dfrac{\partial z}{\partial x}\right|_{\left(0,2\right)} = \underline{\hspace{26px}}$
难度评级：
继续阅读“2021年考研数二第13题解析：二元方程求偏导数”2021年考研数二第12题解析：参数方程求导
一、题目
设函数 $y = y \left(x\right)$ 由参数方程 $\begin{cases} x=2\mathrm{e}^{t}+t+1 \\ y=4\left(t-1\right)\mathrm{e}^{t}+t^{2} \end{cases}$ 确定，则 $\left.\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}\right|_{t=0}=\underline{\hspace{26px}}$
难度评级：
继续阅读“2021年考研数二第12题解析：参数方程求导”2021年考研数二第11题解析：无穷限定积分的计算、极限的计算
一、题目
$$
\int_{-\infty}^{+\infty}\left| x \right|3^{-x^{2}}\mathrm{~d}x=\underline{\hspace{26px}}
$$
难度评级：
继续阅读“2021年考研数二第11题解析：无穷限定积分的计算、极限的计算”2021年考研数二第10题解析：逆矩阵、对角矩阵、初等变换、矩阵乘法运算
一、题目
已知矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -5 \end{pmatrix}$ 若下三角可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和上三角可逆矩阵 $\boldsymbol{Q}$, 使 $\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}$ 为对角矩阵，则 $\boldsymbol{P}$, $\boldsymbol{Q}$ 可以分别取（ ）
»A« $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
»B« $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
»C« $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
»D« $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
二、解析
解法 1
题目告诉我们，$\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}$ 是一个对角矩阵，假设这个对角矩阵是 $\boldsymbol{\Lambda}$, 则：
$$
\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{\Lambda}
$$
于是（矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 可逆）：
$$
\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{Q}^{-1}
$$
由于可逆上三角矩阵的逆矩阵仍然是上三角矩阵（关于这一结论的传统证明方式点击这里查看，峰式图证明方式点击这里查看），所以，在矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 是一个上三角矩阵的情况下，矩阵 $\boldsymbol{Q}^{-1}$ 一定也是一个上三角矩阵.
又由「荒原之梦考研数学」的《峰图 | 基于乘法运算的图形性质理解为什么上（下）三角矩阵与对角矩阵相乘之后得到的仍是上（下）三角矩阵？》这篇文章可知，上三角矩阵左乘一个对角矩阵，得到的仍然是上三角矩阵. 因此，$\boldsymbol{P} \boldsymbol{A}$ 一定是上三角矩阵.
关于为什么矩阵 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A}$ 一定是一个上三角矩阵，也可以由《峰图 | 单位矩阵“拓印”过程的“面积”恒定定理》这篇文章中的结论得到.
又根据矩阵乘法运算的左行右列性质可知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 左边乘以的矩阵 $\boldsymbol{P}$ 相当于给矩阵 $\boldsymbol{A}$ 施加了一些初等行变换，因此，根据《初等变换求逆法的形象理解：把单位矩阵 E 看作一张“白纸”或“原点”》这篇文章中的思路可知，只要我们拿出来一个单位矩阵 $\boldsymbol{E}$, 用一系列初等行变换将矩阵 $\boldsymbol{A}$ 变成上三角矩阵，那么，矩阵 $\boldsymbol{E}$ 就会记录下来这些初等行变换，得到的矩阵就是矩阵 $\boldsymbol{P}$, 即：
$$
\begin{aligned}
\left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{E}\right) & = \begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & -5 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \\ \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -6 & 1 & 0 & 1
\end{pmatrix} \\ \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & 2 & 1
\end{pmatrix} \\ \\
& = \left(\boldsymbol{F}, \boldsymbol{P}\right)
\end{aligned}
$$
则：
$$
\boldsymbol{P} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & 1
\end{pmatrix}
$$
根据与上面相同的思路，前面的到的矩阵 $\boldsymbol{F}$ 实际上就是矩阵 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A}$, 那么，在矩阵 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A}$ 的右边乘以一个矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 就相当对矩阵 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A}$ 做了一系列来自矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 的列变换，使其变成对角矩阵.
所以，在 $\begin{pmatrix}
\boldsymbol{F} \\ \boldsymbol{E}
\end{pmatrix}$ 中，当矩阵 $\boldsymbol{F}$ 经过一系列初等列变换变成一个对角矩阵的时候，单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 就会变成矩阵 $\boldsymbol{Q}$, 即：
$$
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{F} \\ \boldsymbol{E}
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \\ \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \\ \\
& = \begin{pmatrix}
\boldsymbol{\Lambda} \\ \boldsymbol{Q}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
则：
$$
\boldsymbol{Q} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
需要注意的是，本题中的矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 并不是唯一的，上面的过程得到的矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 之所以和选项 »C« 中的矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 完全相同，可以认为是一种刻意的“巧合”.
关于为什么矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 不唯一，详细的解释在本文后面的“三、补充”这一章节中.
综上可知，本 题 应 选 C 
解法 2
$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ »A« 选项
由于，在 »A« 选项中，$\boldsymbol{P} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 是一个单位矩阵，所以：
$$
\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{E} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}
$$
又因为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}$ 不是一个对角矩阵：
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \\ \\
= & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
所以，»A« 选项不正确.
$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ »B« 选项
由于，在 »B« 选项中，$\boldsymbol{Q} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 是一个单位矩阵，所以：
$$
\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{E} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{A}
$$
又因为 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A}$ 不是一个对角矩阵：
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} = & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -5 \end{pmatrix} \\ \\ \\
= & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
所以，»B« 选项不正确.
$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ »C« 选项
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q} = & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \\ \\
= & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \\ \\
= & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
所以，»C« 选项正确.
$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ »D« 选项
由于前面已经计算证明出了 »C« 选项是正确选项，所以，只有在为了做进一步验证或者平时练习的时候才建议对 »D« 选项也做如下的计算验证.
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q} = & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \\ \\
= & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 6 & -1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \\ \\
= & \ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 \\ 2 & 5 & -7 \\ 6 & 13 & -23 \end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
综上可知，本 题 应 选 C
三、补充
事实上，满足本题题干要求的矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 并不是只有 »C« 选项所示的这一种组合——满足题目条件的矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 实际上有无穷多组.
得出上述结论的依据主要有以下三个：
- 矩阵行变换和列变换本身就不是唯一的. 把一个矩阵化成阶梯形、上三角形或对角形，通常有很多不同初等变换方式；
- 题目只要求 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}$ 是“某个对角矩阵”，没有规定这个对角矩阵主对角线上的元素具体是多少. 因此，对矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 的行或列做非零倍数缩放后，仍然能得到一个对角矩阵；
- 本题中矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $2$, 所以最后的对角矩阵的主对角线上必然有一个零元素. 由于全零行或者全零列附近会带来无限多的自由度，也会导致矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 的组合有无数种.
本题也可以求解出矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 的通解——
首先，设：
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{P} & = \begin{pmatrix}
a & 0 & 0\\
b & c & 0 \\
d & e & f
\end{pmatrix} \\ \\
\boldsymbol{Q} & = \begin{pmatrix}
g & h & i \\
0 & j & k \\
0 & 0 & l
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
其中，$a,c,f,g,j,l \neq 0$.
且已知：
$$
\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -5 \end{pmatrix}
$$
于是，有：
$$
\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \begin{pmatrix}
ag & ah & a \left( i-l \right) \\
\left( b+2c \right) g & \left( b+2c \right) h-cj & \left( b+2c \right) i-ck+ \left( -b+c \right) l \\
\left( d+2e-f \right) g & \left( d+2e-f \right) h+ \left( -e+2f \right) j & \left( d+2e-f \right) i+ \left( -e+2f \right) k+ \left( -d+e-5f \right) l
\end{pmatrix}
$$
又因为 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}$ 是一个对角矩阵，所以：
$$
\begin{cases}
b=-2c \\
e=2f \\
d=-3f \\
h=0 \\
i=l \\
k=3l
\end{cases} \tag{1}
$$
此时：
$$
\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \begin{pmatrix}
ag & 0 & 0 \\
0 & cj & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
于是，由上面的 $(1)$ 式可知，满足条件的矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 的一般形式（通解）可以写成：
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{P} & = \begin{pmatrix}
a & 0 & 0 \\
-2c & c & 0 \\
-3f & 2f & f
\end{pmatrix} \\ \\
\boldsymbol{Q} & = \begin{pmatrix}
g & 0 & l \\
0 & j & 3l \\
0 & 0 & l
\end{pmatrix}
\end{aligned} \tag{2}
$$
其中
$$
a,c,f,g,j,l \neq 0.
$$
选项 »C« 对应的 $(2)$ 式中矩阵元素的取值（特解）是：
$$
\begin{cases}
a=1 \\
c=-1 \\
f=1 \\
g=1 \\
j=1 \\
l=1
\end{cases}
$$
高等数学
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
线性代数
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特别专题
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
峰图 | 基于乘法运算的图形性质理解为什么上（下）三角矩阵与对角矩阵相乘之后得到的仍是上（下）三角矩阵？
什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.
一、前言
根据矩阵乘法运算的左行右列性质，一个上（下）三角矩阵左乘对角矩阵，就相当于上（下）三角矩阵的行都乘以对角矩阵对角线上对应的元素；一个上（下）三角矩阵右乘对角矩阵，就相当于上（下）三角矩阵的列都乘以对角矩阵对角线上对应的元素.
在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于矩阵乘法运算的图形化性质对上面的这一结论做一个形象化的说明.
继续阅读“峰图 | 基于乘法运算的图形性质理解为什么上（下）三角矩阵与对角矩阵相乘之后得到的仍是上（下）三角矩阵？”峰图 | 单位矩阵“拓印”过程的“面积”恒定定理
什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过峰图所表现出的“拓印”过程，形象地揭示矩阵初等变换过程中一些有趣也有意义的现象.
继续阅读“峰图 | 单位矩阵“拓印”过程的“面积”恒定定理”