判断反常积分敛散性的两个方法：泰勒展开和比值法

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过泰勒展开和比值两种方法判断下面这个反常积分的敛散性：

$$
\int_{0}^{1} \frac{x \ln x}{\left( 1 – x \right)^{2}} \mathrm{~d} x
$$

难度评级：

二、正文

首先：

$$
\int_{0}^{1} \frac{x \ln x}{\left( 1 – x \right)^{2}} \mathrm{~d} x = \int_{0}^{1} \frac{\left( 1 – t \right) \ln \left( 1 – t \right)}{t^{2}} \mathrm{~d} t
$$

泰勒展开法

当 $t \to 0^{+}$ 时，由泰勒展开式可知：

$$
\ln \left( 1 – t \right) = – t – \frac{t^{2}}{2} – \frac{t^{3}}{3} – \cdots
$$

因此：

$$
\left( 1 – t \right) \ln \left( 1 – t \right) = \left( 1 – t \right) \left( – t – \frac{t^{2}}{2} – \cdots \right) \sim – t
$$

所以：

$$
\frac{\left( 1 – t \right) \ln \left( 1 – t \right)}{t^{2}} \sim \frac{- t}{t^{2}} = – \frac{1}{t}
$$

又由《反常积分敛散性的三个常用公式及推导证明》这篇文章可知，下面这个积分是发散的：

$$
\int_{0}^{1} – \frac{1}{t} \mathrm{~d} t \to – \infty
$$

所以，原积分 $\int_{0}^{1} \frac{x \ln x}{\left( 1 – x \right)^{2}} \mathrm{~d} x$ 是发散的.

比值法

首先，由《反常积分敛散性的三个常用公式及推导证明》这篇文章可知，下面这个积分是发散的：

$$
\int_{0}^{1} – \frac{1}{t} \mathrm{~d} t \to – \infty
$$

又因为：

$$
\lim_{t \to 0^{+}} \frac{\frac{\left( 1 – t \right) \ln \left( 1 – t \right)}{t^{2}}}{- \frac{1}{t}} = \lim_{t \to 0^{+}} – \frac{\left( 1 – t \right) \ln \left( 1 – t \right)}{t} = 1
$$

所以，原积分 $\int_{0}^{1} \frac{x \ln x}{\left( 1 – x \right)^{2}} \mathrm{~d} x$ 和发散的积分 $\lim_{t \to 0^{+}} – \frac{\left( 1 – t \right) \ln \left( 1 – t \right)}{t}$ 具有相同的敛散性.

因此，原积分 $\int_{0}^{1} \frac{x \ln x}{\left( 1 – x \right)^{2}} \mathrm{~d} x$ 是发散的.

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