一、题目
函数 $f(x) = \ln(2+x)$ 在区间 $[0,2]$ 上的平均值为__
作者： 荒原之梦
2026年考研数二第14题解析：多元复合函数求导
一、题目
已知函数 $f(x,y)$ 可微，且 $\mathrm{d}f(0,0) = \pi \mathrm{d} x + 3 \mathrm{d}y$, 记 $g(x) = f(\ln x,\sin\pi x)$, 则 $g ^{\prime} (1) =$____
2026年考研数二第13题解析：曲率半径
2026年考研数二第12题解析：泰勒公式、麦克劳林公式、一点处的极限
一、题目
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{1}{x} – \frac{\ln(1+x)}{x\sin x}\right) =
$$
二、解析
根据泰勒公式/麦克劳林公式可知：
$$
\begin{aligned}
& \lim_{x \rightarrow 0} \left[\frac{1}{x} – \frac{\ln(1+x)}{x\sin x}\right] \\ \\
= \ & \lim_{x \rightarrow 0} \left[\frac{\sin x}{x \sin x} – \frac{\ln(1+x)}{x\sin x}\right] \\ \\
= \ & \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x – \ln(1+x)}{x\sin x} \\ \\
= \ & \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\left[x-\frac{1}{6}x^{3}+o(x^{3})\right]-\left[x-\frac{1}{2}x^{2}+o(x^{2})\right]}{x^{2}} \\ \\
= \ & \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{1}{2}x^{2}+o(x^{2})}{x^{2}} \\ \\
= \ & \frac{1}{2}
\end{aligned}
$$
高等数学
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
线性代数
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
特别专题
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
2026年考研数二第11题解析：反常积分的敛散性判断
一、题目
设 $p$ 为常数，若反常积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{p} (x+1)} \mathrm{~d} x$ 收敛，则 $p$ 的取值范围是__
反常积分敛散性的三个常用公式及推导证明
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过推导的方式，对形如 $\int_{a}^{b} \frac{1}{(x-a)^{p}} \mathrm{~d}x$, $\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d}x$ 和 $\int_{a}^{+ \infty} \frac{1}{x \ln ^{p} x} \mathrm{~d} x$ 这样的反常积分的敛散性进行证明.
继续阅读“反常积分敛散性的三个常用公式及推导证明”谁是无穷小量？
一、题目
当 $x \rightarrow 0$ 时，下面为无穷小量的式子是（ ）
»A« $\dfrac{x + \cos x}{x}$
»B« $\dfrac{\sin x}{x}$
»C« $\dfrac{1}{2^{x} – 1}$
»D« $\dfrac{\sin x}{\sqrt{x}}$
难度评级：
继续阅读“谁是无穷小量？”等价无穷小的“串联”使用
题目 1
$$
I_{1} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 – \cos x \cos 2x}{x^{2}} = ?
$$
解析 1
根据常用的等价无穷小公式，我们有：
$$
\begin{aligned}
I_{1} & = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 – \cos x \cos 2x}{x^{2}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 – \cos x + \cos x – \cos x \cos 2x}{x^{2}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 – \cos x}{x^{2}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos x – \cos x \cos 2x}{x^{2}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 – \cos x}{x^{2}} + \lim_{x \rightarrow 0} \cos x \frac{1 – \cos 2x}{x^{2}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} \left( 2x \right)^{2}}{x^{2}} \\ \\
& = \frac{1}{2} + 2 \\ \\
& = \textcolor{lightgreen}{ \frac{5}{2} }
\end{aligned}
$$
题目 2
$$
I_{2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\sin x) – x \cos x}{x^{3}} = ?
$$
解析 2
根据常用的等价无穷小公式，我们有：
$$
\begin{aligned}
I_{2} & = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\sin x) – x \cos x}{x^{3}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\sin x) – \sin x + \sin x – x \cos x}{x^{3}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\sin x) – \sin x}{x^{3}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x – x \cos x}{x^{3}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\sin x) – \sin x}{\sin ^{3} x} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x – x \cos x}{x^{3}} \\ \\
& = \lim_{k \rightarrow 0} \frac{\tan k – k}{k ^{3}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 – \cos x}{x^{2}} \\ \\
& = \lim_{k \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{3} k^{3}}{k ^{3}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2}} \\ \\
& = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \\ \\
& = \textcolor{lightgreen}{ \frac{5}{6} }
\end{aligned}
$$
题目 3
根据常用的等价无穷小公式，我们有：
$$
I_{3} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\sin x) – \arcsin x}{x^{3}} = ?
$$
解析 3
$$
\begin{aligned}
I_{3} & = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\sin x) – \arcsin x}{x^{3}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\sin x) – \sin x + \sin x – x + x – \arcsin x}{x^{3}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\sin x) – \sin x}{x^{3}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x – x}{x^{3}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x – \arcsin x}{x^{3}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\sin x) – \sin x}{\sin ^{3} x} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x – x}{x^{3}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x – \arcsin x}{x^{3}} \\ \\
& = \lim_{k \rightarrow 0} \frac{\tan k – k}{k ^{3}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x – x}{x^{3}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x – \arcsin x}{x^{3}} \\ \\
& = \lim_{k \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{3} k^{3}}{k ^{3}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{-1}{6} x^{3}}{x^{3}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{-1}{6} x^{3}}{x^{3}} \\ \\
& = \frac{1}{3} – \frac{1}{6} – \frac{1}{6} \\ \\
& = \textcolor{lightgreen}{ 0 }
\end{aligned}
$$
高等数学
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
线性代数
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
特别专题
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
峰说 | 踏踏实实做，不后悔，不迷茫
人生有许许多多的选择，有许许多多的成功和失败。
生在尘世，作为凡夫俗子，我们很难不计较得失。
然而，人生若要轻松惬意，就需要秉持一种“竹杖芒鞋轻胜马”的洒脱和肆意。
有时候，我们首先需要内心轻松，才能在学业、事业和家庭中，取得成功。
如果我们总是背负着山一样沉重繁杂的思绪，就很难专注和脚踏实地。
只有放下无关自身本质的忧思，才能以更加轻盈的身姿，感受、遨游、抵达心中的彼岸。
荒原之梦
2026年3月20日22点03分
2026年考研数二第10题解析：抽象矩阵、特征值、特征向量、对角矩阵
一、题目
设 $3$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$，$\boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{AB}$ $+$ $\boldsymbol{BA}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{2}$ $+$ $\boldsymbol{B}^{2}$，且 $\boldsymbol{A}\neq\boldsymbol{B}$，则下列结论错误的是（ ）
»A« $(\boldsymbol{A} – \boldsymbol{B})^{3} = \boldsymbol{O}$
»B« $\boldsymbol{A} – \boldsymbol{B}$ 只有零特征值
»C« $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{B}$ 不能都是对角矩阵
»D« $\boldsymbol{A} – \boldsymbol{B}$ 只有一个线性无关的特征向量
2026年考研数二第09题解析：线性方程组有解的条件
一、题目
设矩阵 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$，$\boldsymbol{C}$ $=$ $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ a & b \end{pmatrix}$，若存在矩阵 $\boldsymbol{B}$, 使得 $\boldsymbol{AB} = \boldsymbol{C}$，则（ ）
»A« $a = -1$, $b = -1$
»B« $a = 2$, $b = 2$
»C« $a = -1$, $b = 2$
»D« $a = 2$, $b = -1$
2026年考研数二第08题解析：置换矩阵、伴随矩阵
一、题目
单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 经过若干次互换两行得到的矩阵称为置换矩阵. 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶置换矩阵，$\boldsymbol{A}^{*}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，则（ ）
»A« $\boldsymbol{A}^{*}$ 为置换矩阵
»B« $\boldsymbol{A}^{-1}$ 为置换矩阵
»C« $\boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{A}^{*}$
»D« $\boldsymbol{A}^{-1} = -\boldsymbol{A}^{*}$
难度评级：
二、解析
传统解法
首先，根据《什么是置换矩阵？》这篇讲义，可设：
$$
\boldsymbol{A} = \boldsymbol{E}_{i_{1} j_{1}} \boldsymbol{E}_{i_{2} j_{2}} \cdots \boldsymbol{E}_{i_{n} j_{n}}
$$
接着，由初等矩阵的性质可知：
$$
\begin{aligned}
& \left(\boldsymbol{E}_{ij}\right)^{\top} = \boldsymbol{E}_{ij} \\ \\
& \left(\boldsymbol{E}_{ij}\right)^{-1} = \boldsymbol{E}_{ij}
\end{aligned}
$$
于是：
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A}^{-1} & = \left( \boldsymbol{E}_{i_{1} j_{1}} \boldsymbol{E}_{i_{2} j_{2}} \cdots \boldsymbol{E}_{i_{n} j_{n}} \right) \\ \\
& = \left(\boldsymbol{E}_{i_{n} j_{n}}\right)^{-1} \cdots \left(\boldsymbol{E}_{i_{2} j_{2}}\right)^{-1} \cdot \left(\boldsymbol{E}_{i_{1} j_{1}}\right)^{-1} \\ \\
& = \boldsymbol{E}_{i_{n} j_{n}} \cdots \boldsymbol{E}_{i_{2} j_{2}} \boldsymbol{E}_{i_{1} j_{1}}
\end{aligned}
$$
因此可知，$\boldsymbol{A}^{-1}$ 仍为置换矩阵，B 选项正确.
此外，由伴随矩阵的运算性质可得：
$$
\boldsymbol{A}^{*} = \begin{vmatrix}
\boldsymbol{A}
\end{vmatrix} \cdot \boldsymbol{A}^{-1} = (-1)^{n} \boldsymbol{A}^{-1}
$$
即：
$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 当 $n$ 为偶数时，$\boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{A}^{*}$， 且 $\boldsymbol{A}^{*}$ 为置换矩阵；
$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 当 $n$ 为奇数时，$\boldsymbol{A}^{-1} = -\boldsymbol{A}^{*}$, 且 $\boldsymbol{A}^{*}$ 不是置换矩阵.
因此，选项 A, 选项 C 和选项 D 都不完全正确.
峰式解法
由「荒原之梦考研数学」的《初等变换求逆法的形象理解》可知，从矩阵 $\boldsymbol{A}$ 到其逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的过程中，需要经过相对于单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 相反的初等变换，但由于从单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 到置换矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的过程中只经过了对换操作，因此，从单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 到逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的过程中也只需要进行（相反的）对换操作，所以，逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 一定是一个置换矩阵，B 选项正确.
由于 $\boldsymbol{A}^{*} = \begin{vmatrix}
\boldsymbol{A}
\end{vmatrix} \cdot \boldsymbol{A}^{-1}$, 所以，$\boldsymbol{A}^{*}$ 和 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 之间是需要经过数乘运算的，虽然 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 一定是置换矩阵，但只有当 $\begin{vmatrix}
A
\end{vmatrix} = 1$ 时，伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^{*}$ 才是置换矩阵，A 选项错误.
由于置换矩阵是由对换操作得到的，每进行一次对换操作，行列式的取值都要乘以 $-1$, 又由于 $\boldsymbol{A}^{*} = \begin{vmatrix}
\boldsymbol{A}
\end{vmatrix} \cdot \boldsymbol{A}^{-1}$, 但是 $\begin{vmatrix}
\boldsymbol{A}
\end{vmatrix}$ 的正负不确定，所以 C 选项和 D 选项都不正确.
高等数学
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
线性代数
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
特别专题
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
初等矩阵的性质汇总
什么是置换矩阵？
一、前言
置换矩阵这个概念在考研数学中并不常见，但却是 26 考研数学二真题中所考察过的一个知识点.
在这里，「荒原之梦考研数学」就帮助同学们深入理解一下什么是置换矩阵.
继续阅读“什么是置换矩阵？”2026年考研数二第07题解析：二重积分转二次求和
一、题目
设函数 $f(x,y)$ 在区域 $D$ $=$ ${ (x,y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1, 0 \leqslant y \leqslant 1 }$ 上连续，且 $f(x,y)$ $=$ $f(y,x)$，则
$\iint \limits_{D} f(x,y) \mathrm{~d} x \mathrm{d} y$ $=$ $?$
»A« $2 \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=n+1-i}^{n} f \left( \frac{i}{n}, \frac{j}{n} \right) \frac{1}{n^{2}}$
»B« $\frac{1}{2} \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} f \left( \frac{i}{n}, \frac{j}{n} \right) \frac{1}{n^{2}}$
»C« $2 \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{2n+1-i} f \left( \frac{i}{2n}, \frac{j}{2n} \right) \frac{1}{n^{2}}$
»D« $\frac{1}{2} \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{i} f \left( \frac{i}{2n}, \frac{j}{2n} \right) \frac{1}{n^{2}}$