什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.
在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于矩阵乘法运算的图形性质，形象化地证明下面的定理：
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过原理分析和实际的例子，说明矩阵的初等行变换或者初等列变换可以表现出“方向性”，特别是“单向性”.
继续阅读“任何矩阵初等变换的集合都可以表现出“方向性””在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过线性方程组的视角证明下面的两个定理：
通过 2021 年的考研数二真题第 09 题，我们可以知道，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列向量如果可以被矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的列向量线性表示，则齐次线性方程组 $\boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{x} = 0$ 的解就一定包含齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = 0$ 的解.
在上面这道题目中，「荒原之梦考研数学」给出了五种不同的解法，而在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过峰式图的方式，给出针对该题目第五种解法的图形化理解.
继续阅读“峰图 | 基于“砖块砌墙理论”理解向量的线性表示与齐次线性方程组的解之间的关系”
设 $3$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A} = \left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)$, $\boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right)$, 若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 可以由向量组 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 线性表示，则（ ）
»A« $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解
»B« $\boldsymbol{A}^{\top}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{B}^{\top}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解
»C« $\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解
»D« $\boldsymbol{B}^{\top}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{A}^{\top}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解
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继续阅读“2021年考研数二第09题解析：线性表示、齐次线性方程组的解”二次型 $f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}+x_{3}\right)^{2}-\left(x_{3}-x_{1}\right)^{2}$ 的正惯性指数与负惯性指数依次为（ ）
»A« $2, 0$
»B« $1, 1$
»C« $2, 1$
»D« $1, 2$
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继续阅读“2021年考研数二第08题解析：二次型、正负惯性指数、二次型的配方”设函数 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[0,1\right]$ 上连续，则 $\int_{0}^{1} f\left(x\right) \mathrm{~d}x = ?$
»A« $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{2k-1}{2n}\right) \cdot \frac{1}{2n}$
»B« $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{2k-1}{2n}\right) \cdot \frac{1}{n}$
»C« $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{2n} f\left(\frac{k-1}{2n}\right) \cdot \frac{1}{n}$
»D« $\lim_{x \to \infty} \sum_{k=1}^{2n} f\left(\frac{k}{2n}\right) \cdot \frac{2}{n}$
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继续阅读“2021年考研数二第07题解析：定积分的定义、定积分转求和”设函数 $f\left(x, y\right)$ 可微，且 $f\left(x + 1, \mathrm{e}^{x}\right) = x \left(x + 1\right)^{2}$, $f\left(x, x^{2}\right) = 2 x^{2} \ln x$, 则 $\mathrm{d} f\left(1, 1\right) =$
»A« $\mathrm{d} x + \mathrm{d} y$
»B« $\mathrm{d} x – \mathrm{d} y$
»C« $\mathrm{d} y$
»D« $-\mathrm{d} y$
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继续阅读“2021年考研数二第06题解析：全微分、二元复合函数求导”设函数 $f \left( x \right) = \sec x$ 在 $x = 0$ 处的 2 次泰勒多项式为 $1 + a x + b x^{2}$, 则（ ）
»A« $a = 1, b = – \frac{1}{2}$
»B« $a = 1, b = \frac{1}{2}$
»C« $a = 0, b = – \frac{1}{2}$
»D« $a = 0, b = \frac{1}{2}$
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继续阅读“2021年考研数二第05题解析：泰勒公式、三角函数求导”设函数 $f\left(x\right) = a x-b \ln x \left(a>0\right)$ 有两个零点，则 $\frac{b}{a}$ 的取值范围是（ ）
»A« $\left(\mathrm{e}, +\infty \right)$
»B« $\left(0, \mathrm{e} \right)$
»C« $\left(0, \frac{1}{\mathrm{e}} \right)$
»D« $\left(\frac{1}{\mathrm{e}}, + \infty \right)$
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继续阅读“2021年考研数二第04题解析：罗尔定理、零点定理”有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为 $2 \mathrm{cm}/\mathrm{s}$, $-3 \mathrm{cm}/\mathrm{s}$. 当底面半径为 $10 \mathrm{cm}$, 高为 $5 \mathrm{cm}$ 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为（ ）
»A« $125 \pi \ \mathrm{cm}^{3} / \mathrm{s}$, $40\pi \ \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{s}$.
»B« $125 \pi \ \mathrm{cm}^{3} / \mathrm{s}$, $-40\pi \ \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{s}$.
»C« $-100 \pi \ \mathrm{cm}^{3} / \mathrm{s}$, $40\pi \ \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{s}$.
»D« $-100 \pi \ \mathrm{cm}^{3} / \mathrm{s}$, $-40\pi \ \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{s}$.
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继续阅读“2021年考研数二第03题解析：导数的物理应用”$f \left( x \right) = \begin{cases}
\dfrac{\mathrm{e}^{x} – 1}{x}, \ x \neq 0 \\
1, \ x = 0
\end{cases}$ 在 $x = 0$ 处（ ）
»A« 连续且取得极大值
»B« 连续且取得极小值
»C« 可导且导数为 $0$
»D« 可导且导数不为 $0$
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由于：
$$
\lim_{x \to 0} f \left( x \right) = \lim_{x \to 0} \dfrac{\mathrm{e}^{x} – 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1 = f \left( 0 \right)
$$
所以，函数 $f \left( x \right)$ 在 $x = 0$ 处连续.
由题可知：
$$
\begin{aligned}
f^{\prime} \left( 0 \right) & = \lim_{x \to 0} \dfrac{f \left( x \right) – f \left( 0 \right)}{x} \\ \\
& = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{\mathrm{e}^{x} – 1}{x} – 1}{x} \\ \\
& = \lim_{x \to 0} \dfrac{\mathrm{e}^{x} – 1 – x}{x^{2}} \\ \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \textcolor{gray}{\text{洛必达运算}} \\ \\
& = \lim_{x \to 0} \dfrac{\mathrm{e}^{x} – 1}{2 x} \\ \\
& = \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{2 x} \\ \\
& = \dfrac{1}{2} \neq 0
\end{aligned}
$$
综上可知，本 题 应 选 D 
[1]. 常用的等价无穷小公式
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
$\left( 1 \right)$ 当 $x \to 0$ 时，$\int_{0}^{x^{2}} \left( \mathrm{e}^{t^{3}} – 1 \right) \mathrm{~d}t$ 是 $x^{7}$ 的（ ）
»A« 低阶无穷小.
»B« 等价无穷小.
»C« 高阶无穷小.
»D« 同阶但非等价无穷小.
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继续阅读“2021年考研数二第01题解析：求导运算、无穷小的比阶”已知矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}
4 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & a
\end{pmatrix}$ 与 $\boldsymbol{B} = \begin{pmatrix}
k & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$ 合同.
（1）求 $a$ 的值及 $k$ 的取值范围；
（2）若存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$, 使得 $\boldsymbol{Q}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{B}$, 求 $k$ 及 $\boldsymbol{Q}$.
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继续阅读“2025年考研数二第22题解析：合同矩阵、相似矩阵、正交矩阵”设函数 $f\left( x \right)$ 在区间 $\left( a, b \right)$ 可导，证明：导函数 $f^{\prime}\left( x \right)$ 在 $\left( a, b \right)$ 内严格单调增加的充分必要条件是：
对 $\left( a,b \right)$ 内任一点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$，当 $x_{1}<x_{2}<x_{3}$ 时，有：
$$
\frac{f\left( x_{2} \right)-f\left( x_{1} \right)}{x_{2}-x_{1}}<\frac{f\left( x_{3} \right)-f\left( x_{2} \right)}{x_{3}-x_{2}}
$$
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继续阅读“2025年考研数二第21题解析：拉格朗日中值定理、一点处导数的定义、不等式的证明”